Faça o gráfico da curva y = ln(x^2 - 4x + 3)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) =   ln ⁡ x 2 - 4 x + 3

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde somente ao conjunto dos números Reais positivos , isso porque a função   l n ⁡ ( x ) não está definida para números negativos.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está limitado à x > 0 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso, é importante lembrar que ln ⁡ 1 = 0 . Dessa maneira para encontramos as raízes fazermos com que o x 2 - 4 x + 3 = 1 , que este se trata do argumento da função

Com isso percebemos que para x = 2 + 2 e x = 2 - 2   , temos que f x = 0 , ou seja,

f 2 + 2 = ln ⁡ 2 + 2 2 - 4 2 + 2 + 3

= ln ⁡ 4 + 4 2 + 2 2 - 8 - 4 2 + 3 = ln ⁡ 4 + 2 - 8 + 3 = ln ⁡ 1 = 0

Analogamente encontraremos que f 2 - 2 = 0 .

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x duas vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra da cadeia teremos,

f ' x = 1 x 2 - 4 x + 3 .   ( 2 x - 4 )

= 2 x - 4 x 2 - 4 x + 3

Calculando a segunda derivada utilizando a regra do quociente

f ' ' ( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 - 2 x - 4 ( 2 x - 4 ) x 2 - 4 x + 3 2

= 2 x 2 - 8 x + 12 - 2 x - 4 2 x 2 - 4 x + 3 2

= 2 x 2 - 8 x + 12 - 4 x 2 + 8 x - 16 x 2 - 4 x + 3 2

= - 2 x 2 - 4 x 2 - 4 x + 3 2

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f ' x = 2 x - 4 x 2 - 4 x + 3 = 0

Como estamos com uma fração, precisamos apenas mostrar que o numerador é zero, ou seja,

2 x - 4 = 0 ⇒ 2 x = 4   ⇒ x = 2  

Sendo assim, temos um candidato à ponto crítico, no entanto, quando verificamos esse valor em f ( x ) vemos que ele compreende ao l n ⁡ ( - 1 ) ,que é um valor para qual a função não está definida, sendo assim x = 2 não é nem um máximo nem um mínimo para f x .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = - 2 x 2 - 4 x 2 - 4 x + 3 2 = 0

Como estamos com uma fração, precisamos apenas mostrar que o numerador é zero, ou seja,

- 2 x 2 - 4 = 0 ⇒ - 2 x 2 = 4     ⇒ x 2 = 4 - 2     ⇒ x 2 = - 2     ⇒ x = ± - 2  

Porém, raízes quadradas de números negativos não existem nos reais. Sendo assim, f ' ' x não possui pontos de inflexão, ou seja, f x não tem mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ± ∞ ⁡ f x = lim x → ±  ∞ ⁡ f x = x e - x 2 = 0

Logo, f x não possui assíntotas horizontais.

Um fato importante a ser lembrado é respeito da função   y = l n ⁡ ( x ) , é que o ln ⁡ 0 não é definido, ou seja, é uma indeterminação matemática. Sendo assim, em relação as assíntotas verticais, perceba que o argumento de f ( x ) cujas raízes são x = 1 e x = 3 , causam um certo problema. Se calculássemos o limite em cada um desses pontos veremos que :

lim x → 1 - ⁡ f x = l i m x → 1 - ln ⁡ ( 1 ) 2 - 4 ( 1 ) + 3 = l i m x → 1 - ln ⁡ 1 - 4 + 3 = l i m x → 1 - ln ⁡ 0 = - ∞

Além disso,

lim x → 3 + ⁡ f x = l i m x → 3 + ln ⁡ ( 3 ) 2 - 4 ( 3 ) + 3 = l i m x → 3 + ln ⁡ 9 - 12 + 3 = l i m x → 1 - ln ⁡ 0 = - ∞

Logo,   f x possui duas assíntotas verticais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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