Enunciado

Seguindo as etapas apresentadas em 5.9 . 1 , fazer um esboço do gráfico da seguinte função:

y = 3 x + 1 x + 2 x - 3

Passo 1

O primeiro passo é determinar o domínio da função, ou seja, D ( f ) .

A nossa função possui duas indeterminações, ou seja, ela não existe em x = - 2   e   x = 3 , pois esses valores zeram o denominador e divisão por 0   não é definido. Logo:

D f = I R - { - 2,3 }

Passo 2

Podemos agora determinar os pontos de intersecção com os eixos.

A intersecção em y é mais simples de se determinar pois ocorre em x = 0 .

f 0 = 3.0 + 1 ( 0 + 2 ) ( 0 - 3 ) = - 1 6

A intersecção em x , é dada para y = 0 :

0 = 3 x + 1 x + 2 x - 3 ⇒ 0 = 3 x + 1 ⇒ x = - 1 3

Passo 3

Agora vamos determinar os pontos críticos da função. Para isso basta calcular a primeira derivada da função, iguala-la a zero e isolar a variável x .

Temos então que:

y ' = 3 x 2 - x - 6 - 2 x - 1 3 x + 1 x + 2 2 x - 3 2 = 3 x 2 - 3 x - 18 - 6 x 2 + 3 x - 2 x + 1 x + 2 2 x - 3 2

= - 3 x 2 + 2 x + 17 x + 2 2 x - 3 2  

⇒ y ' = 0 ⇒ - 3 x 2 + 2 x + 17 x + 2 2 x - 3 2 = 0 ⇒ 3 x 2 + 2 x + 17 = 0 ⇒ x = - 2 ± 2 2 - 4.3 . 17 6

As raízes de x são complexas, logo não temos pontos críticos.

Passo 4

O próximo passo é determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f ( x ) .

Como y ' = - 3 x 2 + 2 x + 17 x + 2 2 x - 3 2 < 0 , a função é sempre decrescente.

Passo 5

Vamos determinar os pontos de máximos e mínimos relativos. Podemos aplicar o teste da segunda derivada.

O teste da segunda derivada diz que:

  1. Se f ' ' k < 0 , f tem um valor máximo relativo em k .
  2. Se f ' ' k > 0 , f tem um valor mínimo relativo em   k .

Porém como não temos pontos críticos, não temos pontos de máximos nem mínimos.

Passo 6

Determinando agora a concavidade e os pontos de inflexão, ainda pelo teste da segunda derivada.

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

y ' ' = 2 3 x 3 + 3 x 2 + 51 x - 11 x + 2 3 x - 3 3

Fazendo y ' ' > 0 , temos:

2 3 x 3 + 3 x 2 + 51 x - 11 x + 2 3 x - 3 3 > 0 ⇒ ( - 2 ; 0,21 ) ∪ ( 3 , + ∞ )   c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a .

Fazendo y ' ' < 0 , temos:

2 3 x 3 + 3 x 2 + 51 x - 11 x + 2 3 x - 3 3 < 0 ⇒ ( - 0,21 ; 3 ) ∪ ( - ∞ , - 2 )   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o .

Passo 7

Devemos analisar se a função possui assíntotas. Como nossa função possui dois pontos de indeterminação, precisamos calcular o limite da função com x → ± ∞ , x → 3 e x → - 2 .Se o resultado do limite for infinito quando ela tender a infinito, ela não possui assíntota. No caso do limite tendendo a um número de indeterminação da função, se o limite resultar em infinito, a função tem uma assíntota naquele ponto. Assim:

lim x → ∞ ⁡ 3 x + 1 x + 2 x - 3 = 0

lim x → - ∞ ⁡ 3 x + 1 x + 2 x - 3 = 0

lim x → - 2 ⁡ 3 x + 1 x + 2 x - 3 = ∞

lim x → 3 ⁡ 3 x + 1 x + 2 x - 3 = ∞

Logo a função possui assíntotas verticais em x = - 2   e x = 3 e uma assíntota horizontal em y = 0 .

Passo 8

Por fim, esboçamos o gráfico da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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