Faça o gráfico da curva y = (x^2 - x + 1) / x

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = x 2 - x + 1 x

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por x = 0 , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está definida para todo x ≠ 0 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f x = 0 ,   perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

x 2 - x + 1 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara veremos que esse polinômio não possui raízes reais, sendo assim f ( x ) não possui raízes e consequentemente não toca o eixo x .

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f ' x = 2 x - 1 x - ( x 2 - x + 1 ) ( 1 ) x 2

= 2 x 2 - x - x 2 + x - 1 x 2

= x 2 - 1   x 2

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f ' ' x =   2 x .   x 2 -   x 2 - 1 2 x x 2

=   2 x 3 -   2 x 3 - 2 x x 2

=   - 2 x x 2

=   - 2 x

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' x = x 2 - 1 x 2 = 0 ⇒ x 2 - 1 = 0   ⇒ x 2 = 1   ⇒ x = ± 1

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 1 )     x = - 1   , f ' ( x ) assume valores positivos ( f x   cresce). E para valores dentro do intervalo ( - 1,0 )     x = - 1   , f ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x   decresce). Logo, x = - 1 é um ponto de máximo no intervalo de ( - ∞ , 0 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 )     x = 1   , f ' ( x ) assume valores negativos ( f x   decresce). E para valores dentro do intervalo ( 1 , + ∞ )     x = 1   , f ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f x   cresce). Logo, x = 1 é um ponto de mínimo no intervalo de ( 0 , + ∞ ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x =   - 2 x = 0

Perceba que não é possível encontrar um valor para x , de maneira que a igualdade acima seja satisfeita, sendo assim f ' ( x ) não possui pontos de inflexão e consequentemente f ( x ) não tem mudanças de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ∞ ⁡ f x = l i m x → ∞ x 2 - x + 1 x = ∞

Logo, f x não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = 0 , este ponto é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞     e l i m x → 0 + f x = ∞

Logo,   f x possui uma assíntota vertical em x = 0 .

Além disso, perceba que utilizando o método para determinar assíntotas obliquas, encontraremos que y = x - 1 é uma assíntota obliqua para f ( x ) .

Resposta

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