Enunciado

Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado).

f x = x 4 - 3 x 3 + 3 x 2 + 1

Passo 1

Analisando os limites laterais da função:

lim x → + ∞ ⁡ x 4 - 3 x 3 + 3 x 2 + 1 = ∞ 4 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 4 - 3 x 3 + 3 x 2 + 1 = - ∞ 4 = + ∞

Passo 2

Analisando graficamente não encontramos as assíntotas, e funções polinomiais simples de grau 1 ou mais não podem ter assíntotas.

Passo 3

Para encontrar os pontos de inflexão, vamos calcular a primeira derivada da função e encontrar suas raízes. A seguir, aplicamos as raízes na segunda derivada.

Sendo a função :

f x = x 4 - 3 x 3 + 3 x 2 + 1

Derivando o polinômio :

f '   x = 4 x 3 - 9 x 2 + 6 x

Agora, precisamos encontrar as raízes desse polinômio. Se

f '   x = x ( 4 x 2 - 9 x + 6 )

Uma das raízes do polinômio será x = 0 .

As demais raízes podem ser calculadas se :

( 4 x 2 - 9 x + 6 ) = 0

Aplicando na fórmula de resolução de equações quadráticas:

x = - b ±   b 2 - 4 a c 2 a = - - 9 ±   - 9 2 - 4.4 . 6 2.4

Nesse caso, o valor dentro da raiz quadrada não está no conjunto de números reais, portanto a única solução é x = 0 .

Passo 4

Agora, podemos calcular a segunda derivada:

f '   x = 4 x 3 - 9 x 2 + 6 x

f ' ' x = 12 x 2 - 18 x + 6

Aplicando o valor de x = 0 temos que:

f ' ' 0 = 12.0 2 - 18.0 + 6 = 6 > 0

Como f ' ' 0 > 0 esse é um ponto de mínimo.

E afinal, o que são pontos de inflexão? São os zeros da segunda derivada:

f ' ' x = 12 x 2 - 18 x + 6 = 0

12 x 2 - 18 x + 6 = 0

Resolvendo :

x = - b ±   b 2 - 4 a c 2 a = - 18 ±   - 18 2 - 4.12.6 2.12

x ' = 1

x ' ' = 1 2

Resposta

Limites tendem ao infinito.

Não há assíntotas.

f ' ' 0 > 0 é um ponto de mínimo.

Pontos de inflexão: x ' = 1 e x ' ' = 1 2 .

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