Faça o gráfico da curva y = (x + 1) / (x - 3)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = x + 1 x - 3

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais,exceto por x = 3 , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está definida para todo x ≠ 3 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f x = 0 ,   perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

x + 1 = 0 ⇒ x = - 1  

Sendo assim, x = - 1   é uma raiz para f ( x ) ,ou seja,

f - 1 = - 1 + 1 - 1 - 3 = 0 - 4 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f ' x = 1 x - 3 - x + 1 ( 1 ) x - 3 2

= x - 3 - x + 1 x - 3 2

= x - 3   - x - 1 x - 3 2

= - 4 x - 3 2

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f ' ' x = - - 4 ( 2 ( x - 3 ) ( 1 ) ) x - 3 4

= 8 ( x - 3 ) x - 3 4

= 8 x - 3 3

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' x = - 4 x - 3 2 = 0

Perceba que independentemente do valor de x , f ' ( x ) nunca será zero, pois para que uma fração seja nula é necessário que o seu numerador seja zero. Sendo assim   f ' ( x ) não possui pontos críticos.

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = 8 x - 3 3

Pela mesma justificativa anterior, f ' ' ( x ) nunca será zero. Sendo assim, f ' ' ( x ) não possui pontos de inflexão.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ∞ ⁡ f x = l i m x → ∞ x + 1 x - 3 = l i m x → ∞ x x + 1 x x x - 3 x = l i m x → ∞ 1 + 1 x 1 - 3 x = 1 + 0 1 - 0 = 1

Logo, f x possui uma assíntota horizontal em     f ( x ) = 1 .

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = 3 , este ponto é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

lim x → 3 - ⁡ f x = - ∞     e l i m x → 3 + f x = ∞

Logo,   f x possui assíntotas vertical em x = 3 .

Resposta

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