Enunciado

Faça o gráfico da curva y = (x + 1)/(x - 3)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = (x + 1)/(x - 3)

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais,exceto por x = 3 , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está definida para todo x != 3 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f (x) = 0 , perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

x + 1 = 0 => x = - 1

Sendo assim, x = - 1 é uma raiz para f ( x ) ,ou seja,

f (- 1) = (- 1 + 1)/(- 1 - 3) = (0)/(- 4) = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f^' (x) = ((1) (x - 3) - (x + 1) ( 1 ))/((x - 3)^2)

= ((x - 3) - (x + 1))/((x - 3)^2)

= (x - 3 - x - 1)/((x - 3)^2)

= - (4)/((x - 3)^2)

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f^(' ') (x) = - (- 4 ( 2 ( x - 3 ) ( 1 ) ))/((x - 3)^4)

= (8 ( x - 3 ))/((x - 3)^4)

= (8)/((x - 3)^3)

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^' (x) = - (4)/((x - 3)^2) = 0

Perceba que independentemente do valor de x , f ' ( x ) nunca será zero, pois para que uma fração seja nula é necessário que o seu numerador seja zero. Sendo assim f^' ( x ) não possui pontos críticos.

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = (8)/((x - 3)^3)

Pela mesma justificativa anterior, f^(' ') ( x ) nunca será zero. Sendo assim, f^(' ') ( x ) não possui pontos de inflexão.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> oo)(lim) f (x) = underset(x -> oo)(l i m) (x + 1)/(x - 3) = underset(x -> oo)(l i m) ((x)/(x) + (1)/(x))/((x)/(x) - (3)/(x)) = underset(x -> oo)(l i m) (1 + (1)/(x))/(1 - (3)/(x)) = (1 + 0)/(1 - 0) = 1

Logo, f (x) possui uma assíntota horizontal em f ( x ) = 1 .

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = 3 , este ponto é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

underset(x -> 3^-)(lim) f (x) = - oo e underset(x -> 3^+)(l i m) f (x) = oo

Logo, f (x) possui assíntotas vertical em x = 3 .

Resposta

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