Faça o gráfico da curva y = x^(1/3) \* (x - 4)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) =   x 1 3 ( x - 4 )

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para x que apresente indeterminações ou fatos inexistentes(raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) não está limitado “dentro” de nenhum intervalo.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 0   e x = 4 , temos que f x = 0 , ou seja,

f 0 = x 1 3 x - 4 = ( 0 ) 1 3 0 - 4 = 0 . - 4 = 0

E,

f 4 =   ( 4 ) 1 3 4 - 4 = ( 4 ) 1 3 0 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x duas vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra da produto,

f ' x = 1 3 x - 2 3 x - 4 + x 1 3 . ( 1 )

= 1 3 x - 2 3 x - 4 + x 1 3

Calculando a segunda derivada utilizando a regra da diferença e a regra do produto

f ' ' x = 1 3 - 2 3 x - 5 3 x - 4 + x - 2 3 . ( 1 ) + 1 3 x - 2 3

= 1 3 - 2 3 x - 5 3 x - 4 + x - 2 3 + 1 3 x - 2 3

= - 2 6 x - 5 3 x - 4 + 1 3 x - 2 3   + 1 3 x - 2 3

= - 2 6 x - 5 3 x - 4 + 2 1 3 x - 2 3

= - 1 3 x - 5 3 x - 4 + 2 3 x - 2 3

= - 1 3 . 1 x 5 3 x - 4 + 2 3 . 1 x 2 3

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f ' x = 1 3 x -   2 3 x - 4 + x 1 3 = 0

⇒ 1 3 1 x 2 3   x - 4 + x 1 3 = 0       ⇒ 1 3 1 x 2 3   x - 4 = - x 1 3

⇒ 1 3   x - 4 = - x 1 3 . x 2 3         ⇒ 1 3   x - 4 = - x 1 3 + 2 3

⇒ 1 3   x - 4 = - x 3 3         ⇒ 1 3   x - 4 = - x 1

⇒ 1 3 x - 4 1 3 = - x         ⇒ 1 3 x - 4 3 = - x

⇒ - 4 3 = - x - 1 3 x     ⇒ - 4 3 = - 4 3 x

⇒ 1 = 1 .   x       ⇒ x = 1 ou x = 0

Já que a derivada em   x = 0 não existe.

Sendo assim temos um candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que para valores dentro do intervalo ( - ∞ , 0 )     x = 0   , f ( x ) irá assume valores negativos (decrescente). Já para valores dentro do intervalo (0,4) x = 0   , f ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, x = 0 é nem ponto de máximo nem de mínimo.

Já, que para valores dentro do intervalo ( 0,1 )     x = 1   , f ( x ) irá assume valores negativo (decrescente). Já para valores dentro do intervalo ( 1 , + ∞ ) x = 1   , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = 1 é um ponto de mínimo.

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = - 1 3 . 1 x 5 3 x - 4 + 2 3 . 1 x 2 3 = 0

⇒ 1 3 . 1 x 5 3 x - 4 = 2 3 . 1 x 2 3         ⇒ 1 3 . x 2 3 x 5 3 x - 4 = 2 3

⇒ x 2 3 x 5 3 x - 4 = 2 3 3 1   ⇒ x 2 3 - 5 3 x - 4 = 2 1

⇒ x - 3 3 x - 4 = 2 ⇒ x - 1 x - 4 = 2

⇒ x - 4 x = 2   ⇒ x x - 4 x = 2

⇒ 1 - 4 x = 2 ⇒ - 4 x = 1

⇒ x = - 4

Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 4 ) ,     x = - 4   , f ( x ) assume valores negativos (Concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo ( - 4,0 )     x = - 4     , f ( x ) irá assumir valores negativo (Concavidade para baixo). Logo, x = - 4 não é um ponto de inflexão no intervalo de ( - ∞ , 0 ) .

Sendo assim, x = - 4     não é um ponto de inflexão para f ( x ) ,ou seja, não há mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ f x = x 1 3 ( x - 4 ) = ∞

Logo, f x não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c   no domínio de f x que faça com que

lim x → - c ⁡ f x = l i m x → c f x = ± ∞

Logo,   f x não possui assíntotas verticais.

Resposta

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