Faça o gráfico da curva y = x \* raiz(3 - x)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) =   x 3 - x

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde x < 3 , pois qualquer valor maior que esse ocasionaria em uma raiz quadrada negativa, que é algo que não existe no conjunto dos números Reais .

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) a partir de x > 3 não assume valor algum. Isso acontece pois a função não está definida para esses valores.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 0   e x = 3 temos que , f x = 0 , ou seja,

f 0 = 0 3 - 0 = 0 3 = 0

E,

f 3 = 3 3 - 3 = 3 0 = 3   .   0 = 0  

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x duas vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Utilizando o fato de 3 - x = 3 - x 1 / 2 e pela regra da produto teremos,

f ' x = 1 . 3 - x 1 2 + x .   1 2 . 3 - x 1 2 - 1

= 3 - x 1 2 + x 2 . 3 - x -   1 2   ( - 1 )

= 3 - x 1 2 - x 2 . 3 - x -   1 2  

Calculando a segunda derivada utilizando a regra da soma e a regra do produto

f ' ' x = 1 2 3 - x   1 2 - 1 + 1 2 . - 1 2 3 - x -   1 2 + x 2 . 3 - x -   1 2 - 1

= 1 2 3 - x -   1 2 + 1 2 . - 1 2 3 - x -   1 2 + x 2 . 3 - x -   3 2

= 1 2 3 - x -   1 2 + - 1 4 . 3 - x -   1 2 + x 2 . 3 - x -   3 2

= 1 2 3 - x -   1 2 - 1 4 3 - x -   1 2 +   x 2 . 3 - x -   3 2

= 1 4 3 - x -   1 2 +   x 2 . 3 - x -   3 2

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f ' x = 3 - x 1 2 + x 2 . 3 - x -   1 2 = 0

⇒ 3 - x 1 2 - x 2 . 1 3 - x 1 2 = 0     ⇒ 3 - x 1 2 = x 2 . 1 3 - x 1 2

⇒ 3 - x 1 2 3 - x 1 2     = x 2 ⇒ 3 - x 1 2 + 1 2     = - x 2

⇒ 3 - x 2 2     = x 2         ⇒ 3 - x 1     = x 2

⇒ 3 - x     = x 2   ⇒ 3     = x 2 + x    

⇒ 3     = 3 x 2   ⇒ x = 3   . 2 3    

⇒ x = 2

Sendo assim temos um candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( 0 , 2 )   x = 2     , f ( x ) assume valores positivos (crescente). E para valores dentro do intervalo ( 2,3 )     x = 2     , f ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, x = 2 é um ponto de máximo no intervalo de ( 0,3 ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = 1 4 3 - x -   1 2 -   x 2 . 3 - x -   3 2 = 0

⇒ 1 4 1 3 - x 1 2 - x 2 . 1 3 - x 3 2 = 0

⇒ 1 4 1 3 - x 1 2 =   x 2 . 1 3 - x 3 2

⇒ 1 4 3 - x 3 2 3 - x 1 2 =   x 2     ⇒ 3 - x 3 2 3 - x 1 2 = 4 1 x 2  

⇒ 3 - x 3 2 - 1 2 = -   2 x         ⇒ 3 - x 2 2 =   2 x

⇒ 3 - x 1 = -   2 x       ⇒ 3 - x =   2 x

⇒ 3 = 3 x           ⇒ x = 1

Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 )     x = 1 , f ( x ) assume valores negaitivos (Concavidade para baixo ). E para valores dentro do intervalo ( 1,2 )     x = 1 , f ( x ) irá assumir valores negativos (Concavidade para baixo). Logo, x = 1 não é um ponto de inflexão no intervalo de ( 0,2 ) .

Sendo assim, x = 1     não é um ponto de inflexão para f ( x ) ,ou seja, não há mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ f x = x 3 - x = - ∞

Sendo que x → - ∞ pois o domínio de f x está definido para x < 3 .

Portanto, f x não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c   no domínio de f x que faça com que

lim x → - c ⁡ f x = l i m x → c f x = ± ∞

Logo,   f x não possui assíntotas verticais.

Resposta

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