Faça o gráfico da curva y = (x - 3)^2 \* e^x

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) =   x - 3 2 e x

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para x que apresente indeterminações ou fatos inexistentes,(raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) não está limitado “dentro” de nenhum intervalo.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 3   , temos que f x = 0 , ou seja,

f 3 = x - 3 2 e x = 3 - 3 2 e 3 = 0 2   e 3 = 0 . e 3 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do produto teremos,

f ' x = 2 . x - 3 . 1 . e x + x - 3 2 e x

= 2 . x - 3 e x + x - 3 2 e x

= x - 3 e x ( 2 + ( x - 3 ) )

= x - 3 e x ( x - 1 )

Calculando a segunda derivada utilizando a regra da diferença e a regra do produto

f ' ' x = 1 e x + x - 3 e x x - 1 +   x - 3 e x ( 1 )

= e x + x - 3 e x x - 1 +   x - 3 e x

= ( e x + x - 3 e x ) x - ( e x + x - 3 e x ) . 1 +   x - 3 e x

= ( e x + x - 3 e x ) x - e x - x - 3 e x +   x - 3 e x

= e x x + x - 3 e x x - e x

= e x x + x - 3 x - 1  

= e x x + x 2 - 3 x - 1  

= e x x 2 - 2 x - 1  

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f ' x = x - 3 e x x - 1 = 0

Como e x nunca se anula, então f ' x = 0 quando x = 1 ou x = 3

Sendo assim temos dois candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades deles.

Perecaba que , para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 )   x = 1     , f ( x ) assume valores positivos (crescente). E para valores dentro do intervalo ( 1,3 )     x = 1     , f ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, x = 1 é um ponto de máximo no intervalo de ( 0,3 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 1,3 )   x = 3     , f ( x ) assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo ( 3 , ∞ )     x = 3     , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = 3 é um ponto de mínimo no intervalo de ( 1 , ∞ ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = e x x 2 - 2 x - 1   = 0

Como e x nunca se anula, então f ' x = 0 quando x = 1 , já que este valor é uma raíz para o polinômio de dentro da expressão

Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 )     x = 1   , f ( x ) assume valores negativos (Concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo ( 1,3 )     x = 1   , f ( x ) irá assumir valores negativos (Concavidade para baixo). Logo, x = 1   não é um ponto de inflexão no intervalo de ( 0,3 ) .

Sendo assim, x = 1     não é um ponto de inflexão para f ( x ) , ou seja, não há mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ f x = x - 3 2 e x = ∞ . 0

Pois quando a exponencial, assume valores cada vez menores, se aproximando assim do zero. Lembrando que e x é sempre diferente de zero, independentemente do valor de x .

Sendo assim temos que rescrever f ( x ) de modo que possamos utilizar p L’hospital .Um opção é escrever f ( x ) da seguinte maneira,

f ( x ) = x - 3 2 e x = x - 3 2 . e x 1 = x - 3 2 1 e x

Agora podemos utilizar a regra de L’hospital , ou seja, derivaremos em cima e em baixo e veremos o que acontece com o limite,

lim x → - ∞ ⁡ f x = l i m x → - ∞   2 x - 3 . 1 - 1 e x = 2 x - 6 - 1 e x = ∞ ∞

Utilizando L’hospital mais uma vez teremos

lim x → - ∞ ⁡ f x = l i m x → - ∞   2 1 e x = 0

Logo, f x   não possui assíntotas horizontal em zero.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c   no domínio de f x que faça com que

lim x → - c ⁡ f x = l i m x → c f x = ± ∞

Logo,   f x não possui assíntotas verticais.

Resposta

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