Enunciado

Faça o gráfico da curva y = (x - 3)^2 e^x

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = (x - 3)^2 e^x

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para x que apresente indeterminações ou fatos inexistentes,(raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) não está limitado “dentro” de nenhum intervalo.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 3 , temos que f (x) = 0 , ou seja,

f (3) = (x - 3)^2 e^x = (3 - 3)^2 e^3 = 0^2 e^3 = 0 . e^3 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do produto teremos,

f^' (x) = 2 . (x - 3) . (1) . e^x + (x - 3)^2 e^x

= 2 . (x - 3) e^x + (x - 3)^2 e^x

= (x - 3) e^x ( 2 + ( x - 3 ) )

= (x - 3) e^x ( x - 1 )

Calculando a segunda derivada utilizando a regra da diferença e a regra do produto

f^(' ') (x) = [(1) e^x + (x - 3) e^x] (x - 1) + (x - 3) e^x ( 1 )

= [e^x + (x - 3) e^x] (x - 1) + (x - 3) e^x

= ( e^x + (x - 3) e^x ) x - ( e^x + (x - 3) e^x ) . 1 + (x - 3) e^x

= ( e^x + (x - 3) e^x ) x - e^x - (x - 3) e^x + (x - 3) e^x

= e^x x + (x - 3) e^x x - e^x

= e^x [x + (x - 3) x - 1]

= e^x [x + x^2 - 3 x - 1]

= e^x [x^2 - 2 x - 1]

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f^' (x) = (x - 3) e^x (x - 1) = 0

Como e^x nunca se anula, então f^' (x) = 0 quando x = 1 ou x = 3

Sendo assim temos dois candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades deles.

Perecaba que , para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 ) x = 1 , f ( x ) assume valores positivos (crescente). E para valores dentro do intervalo ( 1,3 ) x = 1 , f ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, x = 1 é um ponto de máximo no intervalo de ( 0,3 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 1,3 ) x = 3 , f ( x ) assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo ( 3 , oo ) x = 3 , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = 3 é um ponto de mínimo no intervalo de ( 1 , oo ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = e^x [x^2 - 2 x - 1] = 0

Como e^x nunca se anula, então f^' (x) = 0 quando x = 1 , já que este valor é uma raíz para o polinômio de dentro da expressão

Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 ) x = 1 , f ( x ) assume valores negativos (Concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo ( 1,3 ) x = 1 , f ( x ) irá assumir valores negativos (Concavidade para baixo). Logo, x = 1 não é um ponto de inflexão no intervalo de ( 0,3 ) .

Sendo assim, x = 1 não é um ponto de inflexão para f ( x ) , ou seja, não há mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> - oo)(lim) f (x) = underset(x -> - oo)(lim) f (x) = (x - 3)^2 e^x = oo . 0

Pois quando a exponencial, assume valores cada vez menores, se aproximando assim do zero. Lembrando que e^x é sempre diferente de zero, independentemente do valor de x .

Sendo assim temos que rescrever f ( x ) de modo que possamos utilizar p L’hospital .Um opção é escrever f ( x ) da seguinte maneira,

f ( x ) = (x - 3)^2 e^x = (x - 3)^2 . (e^x)/(1) = ((x - 3)^2)/((1)/(e^x))

Agora podemos utilizar a regra de L’hospital , ou seja, derivaremos em cima e em baixo e veremos o que acontece com o limite,

underset(x -> - oo)(lim) f (x) = underset(x -> - oo)(l i m) (2 (x - 3) . (1))/(- (1)/(e^x)) = (2 x - 6)/(- (1)/(e^x)) = (oo)/(oo)

Utilizando L’hospital mais uma vez teremos

underset(x -> - oo)(lim) f (x) = underset(x -> - oo)(l i m) (2)/((1)/(e^x)) = 0

Logo, f (x) não possui assíntotas horizontal em zero.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c no domínio de f (x) que faça com que

underset(x -> - c)(lim) f (x) = underset(x -> c)(l i m) f (x) = +- oo

Logo, f (x) não possui assíntotas verticais.

Resposta

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