Enunciado

Faça o gráfico da curva y = (x^4 - 1)/(x^2)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = (x^4 - 1)/(x^2)

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por x = 0 , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está definida para todo x != 0 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f (x) = 0 , perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

x^4 - 1 = 0 => x^4 = 1 => x = 1

Logo, x = 1 é uma raíz para f (x) , pois

f (1) = (( 1 )^4 - 1)/(( 1 )^2) = (1 - 1)/(1) = (0)/(1) = 0

Sendo assim f ( x ) toca o eixo x apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f^' (x) = (4 x^3 . x^2 - ( x^4 - 1 ) ( 2 x ))/(x^4)

= (4 x^5 - 2 x^5 + 2 x)/(x^4)

= (2 x^5 + 2 x)/(x^4)

= (2 x ( x^4 + 1 ))/(x^4)

= (2 ( x^4 + 1 ))/(x^3)

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f^(' ') (x) = 2 (4 x^3 x^3 - ( x^4 + 1 ) ( 3 x^2 ))/(x^6)

= 2 (4 x^6 - 3 x^6 - 3 x^2)/(x^6)

= 2 (x^6 - 3 x^2)/(x^6)

= 2 (x^2 ( x^4 - 3 ))/(x^6)

= 2 (x^4 - 3)/(x^4)

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^' (x) = (2 ( x^4 + 1 ))/(x^3) = 0 => 2 (x^4 + 1) = 0 => x^4 + 1 = 0 => x^4 = - 1 => x = +- root(4)(- 1)

Porém, raízes de índices par, cujo argumento é um número negativo , não existem . Sendo o domínio de f^' (x) não possui nenhum ponto critico, consequentemente, f ( x ) não possui pontos de máximo ou pontos de mínimo.

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = 2 (x^4 - 3)/(x^4) = 0 => x^4 - 3 = 0 => x^4 = 3 => x = +- root(4)(3)

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - oo , - root(4)(3) ) x = - root(4)(3) , f ' ' ( x ) assume valores positivos ( f (x) tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo (- root(4)(3) , 0) x = - root(4)(3) , f ' ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f (x) tem concavidade para baixo). Logo, x = - root(4)(3) é um ponto de inflexão no intervalo de ( - oo , 0 ) , ou seja, f ( x ) possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Já, para valores dentro do intervalo ( root(4)(3 ,) 0 ) x = root(4)(3) , f ' ' ( x ) assume valores negativos ( f (x) tem concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo (root(4)(3) , oo) x = root(4)(3) , f ' ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f (x) tem concavidade para cima). Logo, x = root(4)(3) é um ponto de inflexão no intervalo de ( 0 , oo ) , ou seja, f ( x ) possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> oo)(lim) f (x) = underset(x -> oo)(l i m) (x^4 - 1)/(x^2) = oo

Logo, f (x) não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = 0 , este ponto é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

underset(x -> 0^-)(lim) f (x) = - oo e underset(x -> 0^+)(l i m) f (x) = oo

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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