Faça o gráfico da curva y = (x^4 - 1) / x^2

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = x 4 - 1 x 2

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por x = 0 , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está definida para todo x ≠ 0 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f x = 0 ,   perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

x 4 - 1 = 0 ⇒ x 4 = 1   ⇒ x = 1    

Logo, x = 1 é uma raíz para f x , pois

f 1 = ( 1 ) 4 - 1 ( 1 ) 2 = 1 - 1 1 = 0 1 = 0

Sendo assim f ( x ) toca o eixo x apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f ' x = 4 x 3 . x 2 -   ( x 4 - 1 ) ( 2 x ) x 4

= 4 x 5 -   2 x 5 + 2 x x 4

=   2 x 5 + 2 x x 4

=   2 x ( x 4 + 1 ) x 4

=   2 ( x 4 + 1 ) x 3

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f ' ' x = 2   4 x 3 x 3 - ( x 4 + 1 ) ( 3 x 2 ) x 6

= 2   4 x 6 - 3 x 6 - 3 x 2 x 6

= 2   x 6 - 3 x 2 x 6

= 2   x 2 ( x 4 - 3 ) x 6

= 2   x 4 - 3 x 4

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' x =   2 ( x 4 + 1 ) x 3 = 0 ⇒   2 x 4 + 1 = 0   ⇒ x 4 + 1 = 0   ⇒ x 4 = - 1 ⇒ x = ± - 1 4

Porém, raízes de índices par, cujo argumento é um número negativo , não existem . Sendo o domínio de f ' x não possui nenhum ponto critico, consequentemente, f ( x ) não possui pontos de máximo ou pontos de mínimo.

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = 2   x 4 - 3 x 4 = 0 ⇒ x 4 - 3   = 0   ⇒ x 4 = 3 ⇒ x = ± 3 4

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 3 4 )     x = - 3 4   , f ' ' ( x ) assume valores positivos ( f x tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo - 3 4 , 0   x = - 3 4   , f ' ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x tem concavidade para baixo). Logo, x = - 3 4   é um ponto de inflexão no intervalo de ( - ∞ , 0 ) ,   ou seja, f ( x ) possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Já, para valores dentro do intervalo ( 3 , 4 0 )     x = 3 4   , f ' ' ( x ) assume valores negativos ( f x tem concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo 3 4 , ∞   x = 3 4   , f ' ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x tem concavidade para cima). Logo, x = 3 4   é um ponto de inflexão no intervalo de ( 0 , ∞ ) ,   ou seja, f ( x ) possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ∞ ⁡ f x = l i m x → ∞ x 4 - 1 x 2 = ∞

Logo, f x não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = 0 , este ponto é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞     e l i m x → 0 + f x = ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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