Enunciado

O gráfico mostrado corresponde ao da função população P ( t ) de cultura em laboratório de células de levedo. Use o método do Exemplo 1 para obter o gráfico da derivada P ’ ( t ) . O que o gráfico de P ’ nos diz sobre a população de levedos?

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos da um gráfico do crecimento de uma cultura de levedo em função do tempo:

E pede pra a gente esboçar o gráfico de P ' ( x ) a partir do gráfico de P ( x ) acima, usando o método do exemplo 1 do livro e depois interpretar o gráfico da derivada.

No exemplo 1 ele traça várias retas tangentes a curva, em diferentes pontos e estima o valor de suas inclinações. Como a derivada é exatamente a inclinação da reta tangente a curva em determinado ponto, tudo o que precisamos fazer é reunir esses valores e construir um novo gráfico, que será de P ' ( x ) !

Bora colocar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos começar analisando o gráfico:

O nosso gráfico é sempre crescente, então P ' ( x ) sera sempre positivo, mas esse crescimento vai variando conforme o tempo, primeiramente o crecimento esta sempre aumentando e depois ele tende a se estabilizar até chegarmos em t = 15 onde não existe mais novas células!

Devemos esperar então um gráfico de P ' ( x ) que seja crescente até atingir um máximo, depois ele irá decrecer até chegar o ponto y = 0 . Agora vamos conferir se o nosso palpita ta certo!

Traçando as retas tangentes ficamos com:

Vamos estimar P ' ( 0 ) , P ' ( 2,5 ) , P ' ( 5 ) , P ' ( 7,5 ) , P ' ( 10 ) , P ' ( 12,5 ) , P ' ( 15 ) . Vamos desenhar algumas linhas pra ajudar:

Temos que:

P ' x = P p - P x p - x

Onde p ; P p é um outro ponto da reta tangente. Daqui pra frente teremos um trabalho bastante braçal de tentar “chutar” os pontos da melhor maneira possível! Vem comigo:

P ' 2,5 = 0 - 0,2 - 1 - 0 = 0,2

P ' 2,5 = 100 - 40 3,75 - 2,5 = 40 1,25 = 16

P ' 5 = 300 - 220 5,8 - 5 = 80 0,2 = 400

P ' 7,5 = 500 - 450 8 - 7,5 = 50 0,5 = 100

P ' 10 = 600 - 610 9,5 - 10 = 10 0,5 = 20

P ' 12,5 = 680 - 675 13 - 12,5 = 5 0,5 = 10

Para P ' 15 não precisamos nos preocupar em estimar valores porque a reta tangente tá visivelmente horizontal, então P ' 15 = 0 ;

Passo 3

Plotando o gráfico temos:

Passo 4

Agora, precisamos analisar o que esse gráfico de P ' ( t ) significa! P ' ( x ) é a taxa de crescimento das leveduras por hora e observando o gráfico acima podemos ver que inicialmente o crescimento tem um perfil semelhante a uma função exponencial, mas depois ela atinge um máximo que significa que a taxa de crescimento começa a decrescer e finalmente o crescimento para.

Se analisarmos qual será a unidade da derivada, teremos que ela será dada em c e l u l a s   d e   l e v e d u r a s / h o r a . Ou seja: teremos o quão rápido o número de leveduras irá variar em cada hora!

Resposta

Desenvolvimento acima.

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