Enunciado

Use ao gráficos dados para estimar o valor de cada dereivada. Esboce então o gráfico de f ' .

  1. f ' - 3
  2. f ' - 2
  3. f ' - 1
  4. f ' 0
  5. f ' 1
  6. f ' 2
  7. f ' 3

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nesse problema foi dado um gráfico de uma função f x e nosso objetivo é determinar o valor da derivada dessa função em alguns pontos.

Parece complicado?

Para resolver esse problema temos que lembrar que a derivada de uma função em um ponto pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente à função naquele ponto.

Lembra disso?

Então para obter os resultados, vamos traçar as retas tangentes à f e determinar suas inclinações.

Para determinar a inclinação de uma reta precisamos de dois pontos distintos pertencentes a essa reta. Com isso podemos determinar sua inclinação (coeficiente angular) como

m = ∆ y ∆ x = y 1 - y 2 x 1 - x 2

Antes de começar, podemos perceber que f é uma função ímpar pois possui simetria com a origem do sistema.

Dessa forma podemos simplificar nossos cálculos pois f ' - a = f ' a para qualquer a . Como o problema pede f ' para pontos positivos e negativos, podemos calcular apenas um deles e cortar um tempo da nossa solução!

Sabou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar por x = 3 e x = - 3

Traçando a reta tangente a f em x = 3 , temos

Quando x 1 = 3 y 1 = 0 , o próximo ponto vai ter que ser aproximado...

Podemos dizer que quando x 2 = 2 , y 2 = - 1,5 aproximadamente.

Dessa forma temos que a derivada

m = y 1 - y 2 x 1 - x 2 = 0 - - 1,5 3 - 2

m = 1,5

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para f ' ( - 2 ) e f ' ( 2 ) fica um pouquinho mais difícil:

Determinando os pontos que pertencem à reta, vamos aproximar os pontos x 1 ; y 1 = 2,5 ; - 1 e x 2 ; y 2 = ( 2 ; - 1,5 )

m = y 1 - y 2 x 1 - x 2 = - 1 - - 1,5 2,5 - 2

m = 1,0

Show?

Passo 4

Vamos analisar agora os pontos x = 1 e x = - 1

Olhando o gráfico podemos perceber que quando x = 1 e x = - 1 temos um ponto de máximo e mínimo respectivamente.

Isso significa que suas retas tangentes são horizontais e portanto, suas inclinações são nulas.

f ' 1 = f ' - 1 = 0

Estamos quase lá!

Passo 5

No ponto f ' 0 temos:

Temos o ponto x 1 ; y 1 = 0 ; 0 e podemos aproximar x 2 ; y 2 = 0,5 ; - 2

m = 0 - ( - 2 ) 0 - 0,5 = - 4,0

Legal, né?

Passo 6

Por fim, temos que fazer o esboço de f ' .

Como f é uma função impar, consequentemente f ' será uma função par, ou seja, será simétrico em relação ao eixo y .

Vimos que em f ' 0 = - 4 , f ' 1 = 0 , f ' 2 = 1 e f ' 3 = 1,5 .

Esboçando esses pontos e traçando uma curva que ligue eles de forma harmônica, podemos encontrar algo parecido com

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

  1. f ' - 3 ≈ 1,5
  2. f ' - 2 ≈ 1
  3. f ' - 1 ≈ 0
  4. f ' 0 ≈ - 4,0
  5. f ' 1 ≈ 0
  6. f ' 2 ≈ 1,0
  7. f ' 3 ≈ 1,5
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Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .
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