Enunciado

Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto as soluções têm em comum?

5 d 2 y d x 2 - 2 d y d x - 3 y = 0

Passo 1

Aqui temos uma equação diferencial linear de segunda ordem, da forma:

a y ' '   + b y ' + c y = 0

Vamos então achar a equação auxiliar:

5 r 2 - 2 r - 3 = 0

Vamos manipular essa equação:

5 r 2 - 2 r - 3 = 0 → 5 r 2 + - 5 r + 3 r - 3 = 0 → 5 r 2 - 5 r + 3 r - 3 = 0 → 5 r r - 1 + 3 r - 1 = 0 → 5 r + 3 r - 1 = 0

Temos que as raízes são r 1 = 1 e r 2 = - 3 2 , portanto como as raízes são reais e destintas vamos usar a equação 8 :

y = c 1 e - 3 2 x + c 2 e x

Temos que f x = e - 3 2 x e g x = e x são as soluções básicas, e temos o gráfico abaixo onde f x é a curva azul e g x a curva vermelha:

Vamos fazer agora de mais duas soluções:

Com y = f x + g x sendo:

Com y = f x - g x sendo:

Elas tem em comum que todas são combinações lineares das soluções básicas.

Resposta

Gráfico da solução básica onde f x é a curva azul e g x a curva vermelha:

Com y = f x + g x sendo:

Com y = f x - g x sendo:

Elas tem em comum que todas são combinações lineares das soluções básicas.

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