Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.

Passo 1

O domínio de integração está no plano x y (ou z = 0 ) e a “tampa” do sólido é dada pelo plano z = y . Assim, devemos integrar a função z x , y = y no domínio de integração limitado pela circunferência x 2 + y 2 = 1 no plano x y :

Assim, o volume será

V = ∬ z   d x   d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 y   d y   d x

Passo 2

Calculando a primeira integral:

V = ∫ 0 1 y 2 2 0 1 - x 2 d x = 1 2 ∫ 0 1 1 - x 2   d x

Assim,

V = 1 2 x - x 3 3 0 1 = 1 2 1 - 1 3 = 1 3

Resposta

1 3

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