Enunciado

Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas

y = x 2 - 1 2 x + 4

Passo 1

O primeiro passo é relembrar que para encontrar assíntotas oblíquas primeiro precisamos olhar para o numerador e caso ele tenha 1 grau a mais que o grau do denominador então a f ( x ) possuirá uma assíntota obliqua.

Considerando y = f ( x ) e observando a função,

f ( x ) = x 2 - 1 2 x + 4

Vemos que o polinômio de cima tem grau 2, e o grau do polinômio de baixo é 1, ou seja, o de cima tem um grau a mais que o de baixo, então f ( x ) possui assíntota oblíqua.

Passo 2

O segundo passo é dividir o polinômio de cima pelo polinômio de baixo e podemos fazer armando uma conta de dividir como aprendemos quando éramos criança

Para isso precisamos lembrar que em uma divisão de polinômios é um pouco diferente da normal, o termo que fica no quociente multiplica todos o termo do dividendo e o resultado

dessa multiplicação inverte de sinal,

Queremos cancelar o x 2 , colocamos x 2   no quociente, pois quando multiplicássemos ele por 2 x + 4   o resultado - x 2 - 2 x   pois inverte o sinal, e assim cancelaria o x 2 sobrando apenas o - 2 x - 1 . Continuando a conta com a mesma regra,

Passo 3

O segundo passo é reescrever x 2 de acordo com o que obtemos na divisão do item 1, ou seja,

x 2 - 1 = x 2 - 1 + 3 2 x + 4

Onde h x = x 2 - 1 é linear e k x = 3 2 x + 4 é o resto

Estamos interessados em saber se quando o limite de x → ± ∞ o k ( x ) (resto) vai para zero, quando isso acontece significa que a distância entre f ( x ) e h ( x ) é quase zero. Então vamos verificar.

Conseguiremos fazer isso dividindo f ( x ) pela maior potência de x ,

l i m x → ± ∞ 3 2 x + 4 = l i m x → ± ∞ 3 2 x + 4 = l i m x → ± ∞ 3 x 2 x x + 4 x = l i m x → ± ∞ 3 x 2 + 4 x

utilizando a regra do quociente (o limite da divisão é a divisão dos limites) e a regra da subtração (limite da subtração é a subtração dos limites),

l i m x → ± ∞ 3 x 2 + 4 x = l i m x → ± ∞ 3 x l i m x → ± ∞ 2 + 4 x = l i m x → ± ∞ 3 x l i m x → ± ∞ 2 + l i m x → ± ∞ 4 x = 0 2 - 0 = 0 1 = 0 .

Como o limite deu zero, então h ( x ) é uma assíntota oblíqua para f ( x ) . E podemos reescrever f ( x ) como a soma da h x + k ( x ) , ou seja,

f x = x 2 - 4 x - 1 = x 2 - 1 + 3 2 x + 4

Passo 4

Perceba que o ponto x = - 2   causa um estrago na função, pois ela explode. Então ele é nossa assíntota vertical beleza ?

Precisamos saber como a função se comporta a direita e à esquerda desse ponto, então vamos analisar primeiro à esquerda dele , isto é,

lim x → - 2 - ⁡   x 2 - 1 2 x + 4 .  

Usando a regra do quociente (o limite do quociente é quociente dos limites),

lim x → - 2 - ⁡   x 2 - 1 2 x + 4 =     ⁡   l i m x → - 2 - ( x 2 - 1 ) l i m x → - 2 - ( 2 x + 4 )  

Usando a regra da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites),

lim x → - 2 - ⁡   1 2 x + 4 =     ⁡   l i m x → - 2 - ( x 2 - 1 ) l i m x → - 2 - ( 2 x + 4 ) =     ⁡   l i m x → - 2 - x 2 - l i m x → - 2 - 1 l i m x → - 2 - 2 x + l i m x → - 2 - 4

Perceba que 1 não depende de x, então l i m x → - 2 -   1 = 1 .

Substituindo os limites, temos

l i m x → - 2 - x 2 - l i m x → - 2 - 1 l i m x → - 2 - 2 x + l i m x → - 2 - 4 = - 2 - 1 - 4 + 4   = - 3 0

Não escreve essa última igualdade na prova, seu professor não vai curtir muito, fiz isso só pra tu ver que o numerador é não nulo enquanto o denominador é. Ou seja, nossas contas estão indo para infinito. Resta-nos saber se ou - ∞ .

Vamos analisar se o limite será ou - ∞ .

Perceba que estamos nos aproximando de - 2 pela esquerda, ou seja, valores menores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar negativo, já que estamos adicionando 4 a números menores que -2, o que significa dizer que teremos:

- 3 n e g a t i v o = n e g a t i v o n e g a t i v o = p o s i t i v o

Sendo assim, lim x → - 2 - ⁡   x 2 - 1   2 x + 4 =   ∞

Passo 5

Agora vamos ver como a função se comporta à direita a desse ponto, isto é,

lim x → - 2 + ⁡   x 2 - 1 2 x + 4  

Usando as mesmas regras, na mesma ordem que fizemos anteriormente,

lim x → - 2 + ⁡   x 2 - 1 2 x + 4 =     ⁡   l i m x → - 2 + ( x 2 - 1 ) l i m x → - 2 + ( 2 x + 4 ) =     ⁡   l i m x → - 2 + x 2 -   l i m x → - 2 + 1 l i m x → - 2 + 2 x + l i m x → - 2 + 4 = - 3 0

Perceba que agora estamos nos aproximando de - 2 pela direita, ou seja, valores maiores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar positivo, já que estamos adicionando 4 a números maiores que -2, então teremos

- 3   p o s i t i v o = n e g a t i v o p o s i t i v o = n e g a t i v o

Daí, lim x → - 2 + ⁡   x 2 - 1 2 x + 4 = - ∞

Resposta

f x = x 2 - 1 + 3 2 x + 4

h x = x 2 - 1 é uma assíntota para f x . E x= -2.

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