Enunciado

Faça o gráfico da função y = x 2 3 + x - 1 1 3 . Em seguida, use a primeira derivada da função para explicar o que você está vendo.

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) em seguida, manualmente ou com auxílio de algum software obteremos um gráfico parecido com o que está abaixo,

Passo 2

Agora, explicaremos o por que o gráfico ficou daquela forma, mas para isso precisaremos sabe qual a cara de f ' x ,   ou seja,

Utilizando a regra da soma e a regra da cadeia teremos

f ' ( x ) = 2 3 x -   1 3 + 1 3 x - 1 -   2 3

= 1 3 2 x -   1 3 + x - 1 -   2 3

Reescrevendo as potências teremos,

= 1 3 2 x   1 3 + 1 x - 1   2 3

= 1 3 2 x - 1   2 3 + x   1 3 x   1 3 x - 1   2 3

Sendo assim,

f ' ( x ) = 1 3 2 x - 1   2 3 + x   1 3 x   1 3 x - 1   2 3

Passo 3

Sabemos que através de f ' ( x ) podemos encontrar pontos críticos e isso irá nos ajudar a explicar o que está acontecendo com o gráfico de f ( x ) . Dessa maneira, para encontrar pontos críticos precisamos que f ' x = 0 ,isto é,

f ' x = 1 3 2 x - 1   2 3 + x   1 3 x   1 3 x - 1   2 3 = 0

Dividindo a igualdade por 3 temos

⇒ 2 x - 1   2 3 + x   1 3 x   1 3 x - 1   2 3 = 0

Para que a fração seja igual a zero,precisamos que o numerador seja igual a zero, ou seja,

⇒ 2 x - 1   2 3 + x   1 3 = 0

⇒ 2 x - 1   2 3 = - x   1 3

⇒ 2 x - 1   2 3 3 = - x   1 3 3

⇒ 8 x - 1   2 3 3 = - x   1 3 3

Pela propriedade de potência de potência

⇒ 8 x - 1   2 3 . 3 = - x   1 3 ⋅ 3

⇒ x - 1   2 = - x 8

⇒ x 2 - 2 x + 1 = - x 8

⇒ x 2 - 2 x + x 8 + 1 = 0

⇒ x 2 - 15 8 x + 1 = 0

Aplicando a fórmula de Baskara veremos que esse polinômio não possui raízes reais.

Dessa forma, não encontramos nenhum valor para x no domínio de f ' ( x ) , que faça com que f ' x = 0 . Logo f ' ( x ) não possui pontos críticos em seu domínio, consequentemente, f x não irá possuir nem pontos de máximo nem pontos de mínimo, como pudemos comprovar ao ver o gráfico da função.

Além disso, vamos analisar como f x se comporta nos intervalos ( - ∞ , 0 ) e ( 0 , ∞ ) . Dessa maneira, temos que no intervalo - ∞ , 0 ,   f x < 0 ,   ou seja, f ( x ) decrescente . Já no intervalo de 1 , ∞ ,   f x > 0 ,   ou seja, f ( x ) é crescente.

Resposta

Como não foi encontrado nenhum valor para x no domínio de f ' ( x ) , de maneira que f ' x = 0 . Concluímos que f ' ( x ) não possui pontos críticos em seu domínio e consequentemente, f x não irá possuir nem pontos de máximo nem pontos de mínimo . Além disso, f x apresenta um comportamento crescente no intervalo de 1 , + ∞ e decrescente no intervalo de - ∞ , 0 por isso o gráfico se apresenta dessa maneira:

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Seguindo as etapas apresentadas em 5.9 . 1 , fazer um esboço do gráfico da seguinte função: y = ln ⁡ ( 2 x + 3 )
Seguindo as etapas apresentadas em 5.9 . 1 , fazer um esboço do gráfico da seguinte função: y = 4 x + 2