Enunciado

Seguindo as etapas apresentadas em 5.9 . 1 , fazer um esboço do gráfico da seguinte função:

y = - x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + 5 6

Passo 1

O primeiro passo é determinar o domínio da função, ou seja, D ( f ) .

A nossa função não possui nenhuma indeterminação, ou seja, nenhum ponto na qual ela não existe. Logo:

D f = I R

Passo 2

Podemos agora determinar os pontos de intersecção com os eixos.

A intersecção em y é mais simples de se determinar pois ocorre em x = 0 . Temos que:

f 0 = - 0 3 3 + 3.0 2 2 - 2.0 + 5 6 = 5 6

Como não é uma função tão trivial não precisamos necessariamente determinara intersecção em x .

Passo 3

Agora vamos determinar os pontos críticos da função. Para isso basta calcular a primeira derivada da função, iguala-la a zero e isolar a variável x .

Temos então que:

y ' = - 3 x 2 3 + 6 x 2 - 2 = - x 2 + 3 x - 2

⇒ y ' = 0 ⇒ - x 2 + 3 x - 2 = 0 ⇒ x 2 - 3 x + 2 = 0 ⇒ x - 2 x - 1 = 0

⇒ x 1 = 2           e         x 2 = 1

Encontramos então que x 1 = 2   e   x 2 = 1 são pontos críticos.

Passo 4

O próximo passo é determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f ( x ) .

Fazendo y ' > 0 , obtemos:

x - 2 x - 1 > 0 ,   q u a n d o   x > 2     e     x > 1

Portanto, y é crescente em 1,2 .

Fazendo y ' < 0 ,   obtemos:

x - 2 x - 1 < 0 ,   q u a n d o   x < 1       e         x > 2

Portanto, y é decrescente em - ∞ , 1 ∪ [ 2 , + ∞ ) .

Passo 5

Vamos determinar os pontos de máximos e mínimos relativos. Podemos aplicar o teste da segunda derivada.

O teste da segunda derivada diz que:

  1. Se f ' ' k < 0 , f tem um valor máximo relativo em k .
  2. Se f ' ' k > 0 , f tem um valor mínimo relativo em   k .

Calculando a segunda derivada, temos:

y ' ' = - 2 x + 3

Aplicando os pontos críticos na função, temos:

y ' ' 2 = - 2 2 + 3 = - 1 < 0 ,   t e m o s   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   r e l a t i v o   e m   x = 2

y ' ' 1 = - 2 1 + 3 = 1 > 0 ,   t e m o s   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   r e l a t i v o   e m   x = 1

Passo 6

Determinando agora a concavidade e os pontos de inflexão, ainda pelo teste da segunda derivada.

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

Fazendo y ' ' > 0 , temos:

- 2 x + 3 > 0 ⇒ - 2 x > - 3 ⇒ x < 3 2

Logo a função é côncava para cima em - ∞ , 3 2 .

E côncava para baixo em 3 2 , + ∞ .

Como a função muda sua concavidade em x = 3 2 , este é um ponto de inflexão.

Passo 7

Devemos analisar se a função possui assíntotas. Como nossa função não possui pontos de indeterminação, precisamos apenas calcular o limite da função com x → ± ∞ . Se o resultado do limite for infinito, ela não possui assíntota. No caso do limite tendendo a um número de indeterminação da função, se o limite resultar em infinito, a função tem uma assíntota naquele ponto. Assim:

lim x → ∞ - ⁡ x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + 5 6 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ - x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + 5 6 = - ∞

Logo a função não possui assíntotas.

Passo 8

Por fim, esboçamos o gráfico da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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