Enunciado

Se y ' = 6 x ( x + 1 ) ( x - 2 )

  1. Em quais pontos, se houver, o gráfico de f tem um máximo local,um mínimo local ou um ponto de inflexão?
  2. Esboce a forma geral do gráfico.

Passo 1

Inicialmente considere y ' = f ' x . em seguida identificaremos se f ' ( x ) possui pontos críticos para isso faremos   f ' ( x ) = 0 , ou seja,

f ' x = 6 x ( x + 1 ) ( x - 2 ) = 0

Note que x = 0 , - 1 e 2 a igualdade acima é satisfeita. Sendo assim, temos três candidatos à pontos críticos, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 1 )     x = - 1   , f ' ( x ) assume valores negativos ( f x   decresce). E para valores dentro do intervalo ( - 1,0 )     x = - 2   , f ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f x   cresce). Logo, x = - 1 é um ponto de mínimo no intervalo de ( - ∞ , 0 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( - 1 , 0 )     x = 0   , f ' ( x ) assume valores positivos ( f x cresce). E para valores dentro do intervalo ( 0,2 )     x = 0   , f ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f ( x ) decresce). Logo, x = 0 é um ponto de máximo no intervalo de ( - 1,2 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 0 , 2 )     x = 2   , f ' ( x ) assume valores negativos ( f x decresce). E para valores dentro do intervalo ( 2 , + ∞ )     x = 2   , f ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f ( x ) cresce). Logo, x = 2 é um ponto de minimo no intervalo de ( 0 , = ∞ ) .

Passo 2

Determinaremos agora f ' ' ( x ) . Mas antes disso vamos simplificar f ' ( x ) , ou seja,

f ' x = 6 x x + 1 x - 2 = 6 x 2 + 6 x x - 2

= 6 x 3 - 12 x 2 + 6 x 2 - 12 x = 6 x 3 - 6 x 2 - 12 x

Dessa forma , pela regra da diferença temos que

f ' ' x = 18 x 2 - 12 x - 12

Passo 3

Como já determinamos f ' ' ( x ) podemos verificar se ela possui pontos inflexão, para isso faremos f ' ' x = 0 , ou seja,

f ' ' x = 18 x 2 - 12 x - 12 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara obteremos que as raízes desse polinômio são

x = 1 + 7 3 e   x = 1 - 7 3

Sendo assim temos dois candidatos a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - ∞ , 1 - 7 3 )     x = 1 - 7 3   , f ' ' ( x ) assume valores positivos ( f x tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo ( 1 - 7 3 , 0 )     x = 1 - 7 3     , f ' ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x tem concavidade para baixo). Logo, x = 1 - 7 3 é um ponto de inflexão no intervalo de ( - ∞ , 0 ) ,   ou seja, f ( x ) possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Já, para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 + 7 3 )     x = 1 + 7 3   , f ' ' ( x ) assume valores negativos ( f x tem concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo ( 1 + 7 3 , + ∞ )     x = 1 + 7 3     , f ' ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f x tem concavidade para cima). Logo, x = 1 + 7 3 é um ponto de inflexão no intervalo de ( 0 , + ∞ ) ,   ou seja, f ( x ) possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Passo 4

Desejamos encontrar a foma geral do gráfico, porém, no enunciado só foi dado informações sobre a derivada de f ( x ) ou seja, f ' ( x ) = 6 x 3 - 6 x 2 - 12 x .

Precisamos encontrar uma forma de voltar a função original, e quem vai nos ajudar com isso será a integral, pois por definição a integral é um anti-derivada. Sendo assim,

∫   f ' ( x ) d x = ∫ 6 x 3 - 6 x 2 - 12 x d x = 6 x 4 4 - 6 x 3 3 - 12 x 2 2 + C = 3 x 4 3 - 2 x 3 - 6 x 2 + C

A constante C está sendo levada em consideração pois estamos com uma integral indefinida, porém como desejamos f ( x ) em sua forma original consideraremos C = 0 . Sendo assim,

f x = 3 x 4 3 - 2 x 3 - 6 x 2

Cuja forma geral do gráfico é,

Onde,

Os pontos laranja correspondem aos pontos de inflexão x = 1 + 7 3 e x = 1 - 7 3

Os pontinhos verdes correspondem as raízes de f ( x )

Os pontos cinzas correspondem aos pontos de mínimo ( x = - 1 e x = 2 ) e de máximo ( x = 0 ).

Resposta

Item a.

f ( x ) possui um máximo local em x = 0 , mínimos locais em x = - 1 e x = 2 e mudanças de concavidade em x = 1 - 7 3   e x = 1 + 7 3

Item b.

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