Enunciado

Use um sistema de computação algébrica para fazer o gráfico de f e encontrar   f e f ' ' . Utilize os gráficos dessas derivadas para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão de f .

f x = 1 - e 1 x 1 + e 1 x

Passo 1

Primeiro a gente usa um sistema de computação algébrico para calcular as derivadas, e a gente obtém os seguintes resultados:

f ' x = 2 e 1 x x 2 1 + e 1 x 2    

f ' ' x = - 2 e 1 x 1 - e 1 x + 2 x + 2 x e 1 x x 4 1 + e 1 x 3

Passo 2

Esboçando os gráficos de f , f ' e f ' ' :

Passo 3

Agora a gente finaliza analisando os gráficos!

Lembra do conceito de função ímpar? Então, é quando a gente pode dizer que f x = f ( - x ) . Tanto pelo gráfico quanto substituindo em f , podemos dizer que essa é uma função ímpar (dá só uma olhada na simetria dela!). Assim, f é uma função ímpar definida em ( - ∞ ,   0 ) ∪ ( 0 ,   ∞ ) .

O gráfico mostra que ela não tem interceptos x ou y , assim, desde que lim x → ± ∞ ⁡ f x = 0 , o eixo x é uma assíntota horizontal.

f ' x > 0 para x ≠ 0 , então f está crescendo em ( - ∞ ,   0 ) e em ( 0 ,   ∞ ) . Não existem valores extremos.

f ' ' x = 0 para x ≈ ± 0.417 , então f é côncava para cima em ( - ∞ ,   - 0.417 ) , côncava para baixo em ( - 0.417 ,   0 ) , côncava para cima em 0 ,   0.417 , e côncava para baixo em ( 0.417 ,   ∞ ) . f tem pontos de inflexão onde f ' ' troca o sinal, e com as coordenadas x , substituímos o valor em f ( x ) e encontramos as coordenadas y , então, nossos pontos são ( - 0.417 ,   0.834 ) e ( 0.417 ,   - 0.834 ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em