Enunciado

  1. Faça o gráfico das funções f x = x / 2 e g x = 1 + ( 4 / x ) juntas para identificar os valores de x para os quais
  2. x 2 > 1 + 4 x

  3. Confirme algebricamente sua resposta no item ( a )

Passo 1

Esta é uma questão que necessita de recursos tecnológicos para ser resolvida. Sendo assim, utilizaremos de softwares para obtermos o gráfico da função. Após obtermos estes gráficos, vamos visualizar a informação que a inequação nos diz. Após isto, para provar algebricamente o que descobrimos na letra ( a ) , vamos ter de desenvolver a inequação, e assim descobrir quais os valores de x que as satisfazem.

Passo 2

Vamos começar por obter o gráfico das funções dos dois membros, isto é:

f x = x 2

g x = 1 + 4 x

Observe abaixo o gráfico das duas funções.

A inequação nos pede para encontrar os valores de x tais que a função f ( x ) (em verde) é maior que a função g ( x ) (em azul). Graficamente isto corresponde aos pontos em que a curva verde está acima da azul. Desta forma, estes pontos correspondem ao intervalo do ponto A até 0 e do ponto B até o . Portanto, como as coordenadas do ponto A são ( - 2 ; - 1 ) e as do ponto B são ( 4,2 ) , valores estes obtidos graficamente, a solução da inequação é:

x ∈ ( - 2,0 ) ∪ ( 4 , ∞ )

Passo 3

Agora, vamos provar matematicamente. Então, temos:

x 2 > 1 + 4 x

x 2 - 1 - 4 x > 0

x 2 - 2 x - 8 2 x > 0

x + 2 ⋅ ( x - 4 ) 2 x > 0

Para resolvermos esta inequação, vamos utilizar a seguinte ideia: a divisão de dois números negativos é um número positivo enquanto a divisão de um número negativo por um positivo é um número negativo. Esta ideia é a base do que iremos fazer. Vamos determinar os intervalos em que cada uma das funções ( x + 2 ) , ( x - 4 ) e ( 2 x ) são positivas e negativas. Depois, vamos multiplicar o sinal de cada uma delas. Se o resultado for negativo, a inequação toda será menor que zero. Caso contrário, será maior que zero. Vejamos então todos estes sinais na seguinte tabela:

Portanto, a solução da inequação é:

x ∈ ( - 2,0 ) ∪ ( 4 , ∞ )

Resposta

x ∈ ( - 2,0 ) ∪ ( 4 , ∞ )

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Nos Exercícios 1-4, utilize uma calculadora gráfica ou um computadorpara determinar qual das seguintes janelas de visualização exibeo gráfico mais apropriado da função especificada.4. f x = 5 + 4 x -
Nos Exercícios 5-30, determine uma janela de visualização apropriada para a função dada e a utilize para exibir o gráfico da função.8. f x = x 5 - 5 x 4 + 10
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Nos Exercícios 5-30, determine uma janela de visualização apropriada para a função dada e a utilize para exibir o gráfico da função.6. f x = x 3 3 - x 2 2 - 2 x + 1