Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.

F x = x + 3 ,     s e   x < - 2 4 - x 2 ,     s e - 2 ≤ x ≤ 2 3 - x ,     s e   2 < x

Passo 1

Podemos definir o domínio como D f = x ∈ R y = f x ∈ R , ou seja, os valores de x que fazem a função existir. Já a imagem é formada pelos valores de y que pertencem à função, ou seja, I m f = y ∈ R y = f x .

Passo 2

Como não há valor de x que faça a função não existir,

D = R

Passo 3

y = F x

y = x + 3 ,     s e   x < - 2 4 - x 2 ,     s e - 2 ≤ x ≤ 2 3 - x ,     s e   2 < x

Para x < - 2 , como não temos nenhuma restrição na fórmula, temos

x < - 2

x + 3 < 1

y < 1

Para - 2 ≤ x ≤ 2 , temos

x 2 ≥ 0   ∀   x ∈ R

- x 2 ≤ 0

4 - x 2 ≤ 4

y ≤ 4

Para x > 2 , como não temos nenhuma restrição na fórmula, temos

x > 2

- x < - 2

3 - x < 1

y < 1

Para encontrar a imagem, fazemos a união desses três intervalos, já que, para pertencer à função, y precisa estar em pelo menos um dos três. E assim,

I m = y ∈ R y ≤ 4 = - ∞ ; 4

Passo 4

E para construir o gráfico, fazemos a reta y = x + 3 , da esquerda para direita, até x = - 2 . Depois, vamos fazer a parábola y = 4 - x 2 até x = 2 e daí para frente faremos a reta y = 3 - x e, como diz a lei da função, os valores de F - 2 e de F ( 2 ) são dados pela segunda fórmula, então os pontos equivalentes nas retas ficarão abertos.

Resposta

D = R

I m = y ∈ R y ≤ 4 = - ∞ ; 4

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