Enunciado

Faça o gráfico, inclua as equações das assíntotas e dos termos dominantes

Passo 1

Vamos analisar a função y = 1 x + 1 .

Perceba que o ponto x = - 1   não causa um estrago na função, pois ela explode. Então ele é nossa assíntota vertical beleza ?

Precisamos saber como a função se comporta a direita e à esquerda desse ponto, então vamos analisar primeiro à esquerda dele , isto é,

lim x → - 1 - ⁡   1 x + 1  

Usando a regra do quociente (o limite do quociente é quociente dos limites),

lim x → - 1 - ⁡   1 x + 1 =     ⁡   l i m x → - 1 - 1 l i m x → - 1 - ( x + 1 )  

Usando a regra da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites),

lim x → - 1 - ⁡   1 x + 1 =     ⁡   l i m x → - 1 - 1 l i m x → - 1 - ( x + 1 ) =   lim x → - 1 - ⁡   1 x + 1 =     ⁡   l i m x → - 1 - 1 l i m x → - 1 - x + l i m x → - 1 - 1

Perceba que 1 não depende de x, então l i m x → - 1 -   1 = 1 .

Substituindo os limites, temos

l i m x → - 1 - 1 l i m x → - 1 - x + l i m x → - 1 - 1   = 1 - 1 + 1 = 1 0

Não escreve essa última igualdade na prova, seu professor não vai curtir muito, fiz isso só pra tu ver que o numerador é não nulo enquanto o denominador é. Ou seja, nossas contas estão indo para infinito. Resta-nos saber se ou - ∞ .

Vamos analisar se o limite será ou - ∞ .

Perceba que estamos nos aproximando de - 1 pela esquerda, ou seja, valores menores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar negativo, já que estamos adicionando um a números menores que -1, o que significa dizer que teremos:

1 n e g a t i v o = p o s i t i v o n e g a t i v o = n e g a t i v o

Sendo assim, lim x → - 1 - ⁡   1 x + 1 =   - ∞

Passo 2

Agora vamos ver como a função se comporta à direita a desse ponto, isto é,

lim x → - 1 + ⁡   1 x + 1  

Usando as mesmas regras, na mesma ordem que fizemos anteriormente,

lim x → - 1 + ⁡   1 x +   1 =     ⁡   lim x → - 1 + ⁡   1 lim x → - 1 + ⁡   ( x + 1 ) = lim x → - 1 + ⁡   1 x + 1 =     ⁡   lim x → - 1 + ⁡   1 lim x → - 1 + ⁡   + lim x → - 1 + ⁡   = 1 0

Perceba que agora estamos nos aproximando de - 1 pela direita, ou seja, valores maiores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar positivo, já que estamos adicionando um a números maiores que -1, então teremos

1 p o s i t i v o = p o s i t i v o p o s i t i v o = p o s i t i v o

Daí, lim x → - 1 + ⁡   1 x + 1 = ∞

Passo 3

Logo, temos uma assíntota x = - 1 , na qual a função explode positivamente à direita deste ponto e à esquerda, o qual pode ser visto conforme o gráfico:

Resposta

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17-26. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto.20. lim x → - 1 ⁡ 7 x + 5 = - 2
17-26. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto.24. lim x → 2 ⁡ f x = 5 , onde f x = 9 - 2 x , x ≠ 2 49 , x = 2
17-26. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto.18. lim x → 4 ⁡ x + 2 = 6
17-26. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto.25. lim x → 0 ⁡ x = 0
17-26. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto.22. lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 x + 3 = - 6