Calcule a integral usando integração por partes

∫ x + 1 2 e x d x

Passo 1

Utilizando integração por partes, suponha

u = x + 1 2 ⇒ d u = 2 x + 1 . ( 1 ) d x ⇒ d u = 2 x + 1 d x ,,

d v = e x ⇒ v = e x

Sabemos que,

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Sendo assim,

⇒ ∫ x + 1 2 e x d x

= x + 1 2 e x - ∫ e x 2 x + 1 d x  

Utilizando a propriedade de integrais de retirada da constante teremos

= x + 1 2 e x - 2 ∫ e x x + 1 d x  

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar a constante C ao final.

Passo 2

Utilizando integração por partes novamente, suponha

u = x + 1 ⇒ d u = d x ,

d v = e x ⇒ v = e x

Sendo assim,

⇒ ∫ x e x d x = x + 1 e x - ∫ e x   d x = x + 1 e x - e x

Logo,

∫ x + 1 2 e x d x = x + 1 2 e x - 2 [ x + 1 e x - e x ]

= e x [ x + 1 2 - 2 x + 1 + 2 ]  

Portanto,

∫ x + 1 2 e x d x = e x [ x + 1 2 - 2 x + 1 + 2 ]   + C

Resposta

∫ x + 1 2 e x d x = e x [ x + 1 2 - 2 x + 1 + 2 ]   + C

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