Enunciado

Faça o gráfico, inclua as equações das assíntotas e dos termos dominantes

Passo 1

Vamos analisar a função y = 1 x - 1 .

Perceba que o ponto x = 1   não causa um estrago na função, pois ela explode. Então ele é nossa assíntota vertical beleza ?

Precisamos saber como a função se comporta a direita e à esquerda desse ponto, então vamos analisar primeiro à esquerda dele , isto é,

lim x → 1 - ⁡   1 x - 1  

Usando a regra do quociente (o limite do quociente é quociente dos limites),

lim x → 1 - ⁡   1 x - 1 =     ⁡   l i m x → 1 - 1 l i m x → 1 - ( x - 1 )  

Usando a regra da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites),

lim x → 1 - ⁡   1 x - 1 =     ⁡   l i m x → 1 - 1 l i m x → 1 - ( x - 1 ) =   lim x → 1 - ⁡   1 x - 1 =     ⁡   l i m x → 1 - 1 l i m x → 1 - x - l i m x → 1 - 1

Perceba que 1 não depende de x, então l i m x → 1 -   1 = 1 .

Substituindo os limites, temos

l i m x → 1 - 1 l i m x → 1 - x - l i m x → 1 - 1 =   1 1   - 1 = 1 0

Não escreve essa última igualdade na prova, seu professor não vai curtir muito, fiz isso só pra tu ver que o numerador é não nulo enquanto o denominador é. Ou seja, nossas contas estão indo para infinito. Resta-nos saber se ou - ∞ .

Vamos analisar se o limite será ou - ∞ .

Perceba que estamos nos aproximando de 1 pela esquerda, ou seja, valores menores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar negativo, já que estamos tirando um de um número menor, o que significa dizer que teremos:

1 n e g a t i v o = p o s i t i v o n e g a t i v o = n e g a t i v o

Sendo assim, lim x → 1 - ⁡   1 x - 1 =   - ∞

Passo 2

Agora vamos ver como a função se comporta à direita a desse ponto, isto é,

lim x → 1 + ⁡   1 x - 1  

Usando as mesmas regras, na mesma ordem que fizemos anteriormente,

lim x → 1 + ⁡   1 x - 1 =     ⁡   l i m x → 1 + 1 l i m x → 1 + ( x - 1 ) =   lim x → 1 + ⁡   1 x - 1 =     ⁡   l i m x → 1 + 1 l i m x → 1 + x - l i m x → 1 + 1 = 1 0

Perceba que agora estamos nos aproximando de 1 pela direita, ou seja, valores maiores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar positivo, já que estamos tirando um de um número maior, o que significa dizer que teremos:

1 p o s i t i v o = p o s i t i v o p o s i t i v o = p o s i t i v o

Daí, lim x → 1 + ⁡   1 x - 1 = ∞

Passo 3

Logo, temos uma assíntota x = 1 , na qual a função explode positivamente à direita deste ponto e à esquerda, o qual pode ser visto conforme o gráfico:

Resposta

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51-56. Use as Definições 1.4.2 ou 1.4.3 para provar que o limite dado está correto.56. lim x → - ∞ ⁡ 2 x = 0
59-64. Use as Definições 1.4.4 ou 1.4.5 para provar que o limite dado está correto.62. lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 = + ∞
47-50. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em - ∞ . Encontre um número negativo N tal que f x - Lϵ se xN .48. lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 = 0 ;ϵ = 0,01
43-46. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em + ∞ . Encontre um número positivo N tal que f x - Lϵ se xN .45. lim x → + ∞ ⁡ x x + 1 = 1 ;ϵ = 0,001
51-56. Use as Definições 1.4.2 ou 1.4.3 para provar que o limite dado está correto.51. lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 0