Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1 - Capítulo 1.4 - Ex. 41

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41. a) Encontre os valores de x 1 e x 2 na figura a seguir.

b) Encontre um número positivo N , tal que:

x 2 1 + x 2 - 1 < ϵ

Com x > N .

c) Encontre um número negativo N , tal que:

x 2 1 + x 2 - 1 < ϵ

Com x < N .

Passo 1

a) Então galera, aqui não possui muito segredo não, ok? O valor da função y correspondente aos pontos x 1 e x 2 é 1 - ϵ . Sabendo disso, teremos que para x 1 :

x 1 2 1 + x 1 2 = 1 - ϵ

Isolando x 1 :

1 1 - ϵ = 1 + 1 x 1 2

x 1 = - 1 - ϵ ϵ

E como, observando o gráfico, x 1 = - x 2 , podemos dizer que:

x 2 = 1 - ϵ ϵ

E esses são os valores de x 1 e x 2 , galeris!

Passo 2

b) Temos a seguinte desigualdade, pessoal:

x 2 1 + x 2 - 1 < ϵ

Isolando x , teremos:

x 2 1 + x 2 < ϵ + 1

1 ϵ + 1 < 1 + 1 x 2

1 ϵ + 1 - 1 < 1 x 2

- ϵ ϵ + 1 < 1 x 2

∴ x > 1 - ϵ ϵ

Mas como x > N , comparando temos:

N = 1 - ϵ ϵ

Passo 3

c) Temos a seguinte desigualdade, pessoal:

x 2 1 + x 2 - 1 < ϵ

Aqui temos que seguir exatamente os mesmos passos da letra b), pessoal! A diferença aqui é que x < N , dessa forma, teremos que N será o oposto do que achamos na letra b), ou seja:

N = - 1 - ϵ ϵ

E estão aí nossas respostas, pessoal!

Resposta

a) x 1 = - 1 - ϵ ϵ ,   x 2 = 1 - ϵ ϵ

b) N = 1 - ϵ ϵ

c) N = - 1 - ϵ ϵ

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