Enunciado

Faça o gráfico da solução particular e de várias outras soluções. Que características essas soluções têm em comum?

y ´ ´ + 3 y ´ + 2 y = c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Primeiramente nós solucionamos a equação característica da parte homogenia onde

r 2 + 3 r + 2 = 0 que tem solução r 1 = - 1   r = - 2 , a solução da parte homogenia será:

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 1 x = c 1 e - x + c 2 e - 2 x

Passo 2

Agora utilizaremos as técnicas dos coeficientes à determinar chutando uma solução particular do tipo y p = A c o s x + B s e n ( x )

Suas derivadas ficam y p ´ = - A s e n x + B c o s ( x )

e y p ´ ´ = - A c o s x - B s e n ( x )

onde y ´ ´ + 3 y ´ + 2 y = c o s ⁡ ( x )

substituindo y p   n ó s   t e r e m o s :

- A c o s x - B s e n x + 3 - A s e n x + B c o s x + 2 ( A c o s x + B s e n x ) = c o s ⁡ ( x )

Agrupando em S e n x ,   C o s x

A + 3 B cos ⁡ x + - 3 A + B s e n x = c o s ⁡ ( x )

De fato, nós temos uma igualdade então os dois lados têm que ser iguais assim:

A + 3 B = 1

- 3 A + B = 0

A = 1 10   e   B = 3 10

y p = 1 10 cos ⁡ x + 3 10 s e n ( x )

A solução da equação diferencial não homogenia será:

y x = y h + y p = c 1 e - x + c 2 e - 2 x + 1 10 cos ⁡ x + 3 10 s e n ( x )

Passo 3

Notamos que quando x   tende para infinito as soluções convergem para a solução particular.

Resposta

Notamos que quando x   tende para infinito as soluções convergem para a solução particular.

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