Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 43
Um fluido tem densidade e escoa com velocidade , onde são medidos em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do cilindro , .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra calcular a vazão vamos relembrar como é a fórmula:
Então precisamos primeiro parametrizar a região e usar essas novas variáveis nas outras quantidades.
Para um cilindro de raio temos a seguinte parametrização:
Com os parâmetros e entre:
Assim o vetor é:
E as derivadas parciais e são:
E o produto vetorial entre eles é:
Passo 2
Vamos ver agora a região de integração. É o cilindro, então:
O vetor nas variáveis de parametrização fica:
E o produto escalar entre e é:
Pronto! Agora é só jogar na integral!
Passo 3
Resgatando a integral do passo temos:
Agora olhando em uma tabela de integrais temos:
Resposta
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