Enunciado

Se f x = 3 x 5 - 10 x 3 + 5 , faça os gráficos de f e f ' ' . Em quais intervalos f ' ' x > 0 ? Nesses intervalos, como está relacionado o gráfico de f e suas retas tangentes? O que acontece nos intervalos onde f ' ' x < 0 ?

Passo 1

Vamos derivar a função f duas vezes para obter f ' ' , e então representar os gráficos usando um programa de computador. Para a primeira derivada, teremos:

f x = 5 x 5 - 10 x 3 + 5

⇒ f ' x = 25 x 4 - 30 x 2

Derivando novamente:

f ' ' x = 100 x 3 - 60 x

Ficamos então com esses gráficos de f e f ' ' :

Passo 2

Agora vamos descobrir os intervalos onde f ' ' x > 0 . Os pontos onde f ' ' trocam de sinal são os pontos onde f ' ' x = 0 . Vamos ver onde isso acontece:

f ' ' x = 100 x 3 - 60 x = x ( 100 x 2 - 60 )

f ' ' x = 0 ⇒ x 100 x 2 - 60 = 0

Os resultados da equação são:

  1. x = 0
  2. 100 x 2 = 60 ⇒ x 2 = 60 100 ⇒ x = ± 60 10 = ± 15 5

Agora vamos analisar o sinal de f ' ' para os intervalos que obtemos desses valores de x :

x ∈ - ∞ , - 15 5 :       f ' ' x < 0

x ∈ - 15 5 ,   0 :       f ' ' x > 0

x ∈ 0 , 15 5 :       f ' ' x < 0

x ∈ 15 5 ,   ∞ :       f ' ' x > 0

Os intervalos nos quais temos f ' ' x > 0 são então:

x ∈ - 15 5 ,   0 ∪ 15 5 ,   ∞

Passo 3

No gráfico, nos intervalos onde temos f ' ' x > 0 o valor da inclinação da curva aumenta quando x aumenta. Isso acontece pois f ' ' é a derivada de f ' , que mede a inclinação da reta tangente no ponto. Então, quando f ' ' x > 0 , à medida que x aumenta as retas tangentes ficam mais inclinadas positivamente. Onde f ' ' x < 0 ocorre o contrário: quando x aumenta, o valor da inclinação da reta diminui.

Resposta

f ' ' x > 0 ⇒ x ∈ - 15 5 ,   0 ∪ 15 5 ,   ∞

f ' ' x > 0 :       x   a u m e n t a ⇒ i n c l i n a ç ã o   d a   r e t a   a u m e n t a

f ' ' x < 0 :       x   a u m e n t a ⇒ i n c l i n a ç ã o   d a   r e t a   d i m i n u i

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