Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 62
Se , faça os gráficos de e . Em quais intervalos ? Nesses intervalos, como está relacionado o gráfico de e suas retas tangentes? O que acontece nos intervalos onde ?
Passo 1
Vamos derivar a função duas vezes para obter , e então representar os gráficos usando um programa de computador. Para a primeira derivada, teremos:
Derivando novamente:
Ficamos então com esses gráficos de e :
Passo 2
Agora vamos descobrir os intervalos onde . Os pontos onde trocam de sinal são os pontos onde . Vamos ver onde isso acontece:
Os resultados da equação são:
Agora vamos analisar o sinal de para os intervalos que obtemos desses valores de :
Os intervalos nos quais temos são então:
Passo 3
No gráfico, nos intervalos onde temos o valor da inclinação da curva aumenta quando aumenta. Isso acontece pois é a derivada de , que mede a inclinação da reta tangente no ponto. Então, quando , à medida que aumenta as retas tangentes ficam mais inclinadas positivamente. Onde ocorre o contrário: quando aumenta, o valor da inclinação da reta diminui.