Enunciado

32. Se R denota a reação do corpo para algum estímulo de intensidade x , a sensitividade S é definida como a taxa de variação de reação em relação a x . Um exemplo acontece quando a luminosidade x de uma fonte de luz é aumentada e o olho reage decrescendo a área R da pupila. A fórmula experimental

R = 40 + 24 x 0,4 1 + 4 x 0,4

Tem sido usada para modelar a dependência de R em x quando R é medido em milímetros quadrados e x em uma unidade de apropriada de luminosidade.

  1. Encontre a sensitividade
  2. Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico de R e S como funções de x . Comente sobre os valores de R e S em baixos níveis de luminosidade. Isso é o que você espera?

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos juntos resolvermos essa atividade.

Aqui, nos é pedido para encontrarmos a sensibilidade, depois de nos passarem a informação sobre a sensibilidade ser a taxa de variação de reação em relação a x . Temos que a reação é dada por:

R = 40 + 24 x 0,4 1 + 4 x 0,4

Como a sensitividade é a taxa de variação, teremos que fazer a derivada, pois taxa de variação nada mais é do que a derivada da função em relação a variável.

Usaremos a fórmula de divisão de derivada, pois temos aqui uma divisão de funções. Vou colocá-la aqui para facilitar nosso trabalho!

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Para ilustramos os gráficos vamos utilizar o GeoGebra, um software matemático gratuito.

Passo 2

Vamos separar as funções assim fica mais claro:

f = 40 + 24 x 0,4

Derivando o polinômio:

f ' = 40 + 24 x 0,4 '

Utilizando a regra de derivação para polinômios:

f ' = 24 0,4 x 0,4 - 1

f ' = 9,6 x - 0,6

g = 1 + 4 x 0,4

Derivando o polinômio:

g ' = 1 + 4 x 0,4 '

Utilizando a regra de derivação para polinômios:

g ' = 4 0.4 x 0.4 - 1

g ' = 1,6 x - 0,6

Agora substituindo na expressão, temos:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

R ' = 9,6 x - 0,6 1 + 4 x 0,4 - 40 + 24 x 0,4 1,6 x - 0,6 1 + 4 x 0,4 2

Realizando os produtos:

R ' = 9,6 x - 0,6 + 38,4 x - 0,2 - 64 x - 0,6 + 38,4 x - 0,2 1 + 4 x 0,4 2

R ' = 9,6 x - 0,6 + 38,4 x - 0,2 - 64 x - 0,6 - 38,4 x - 0,2 1 + 4 x 0,4 2

Simplificando os termos semelhantes:

R ' = - 54,4 x - 0,6 1 + 4 x 0,4 2

Encontramos a sensitividade! Agora vamos para a próxima!

Passo 3

(b)Gerando no software os gráficos:

Em vermelho o gráfico de R e em Azul o de S :

Para uns valores de luminosidades próximos de x , temos que R tende a + ∞ , como R é o decrescimento da pupila, acontece o que esperávamos, pois quando a luminosidade é baixa a pupila tende a não dilatar.

Para uns valores de luminosidades próximos de x , temos que S tende a - ∞ , como S   é a taxa de variação que a pupila dilata, acontece o que esperávamos, pois quando a luminosidade é baixa a pupila tende a não dilatar.

Resposta

(a)

R ' = - 54,4 x - 0,6 1 + 4 x 0,4 2

(b)

Para um valores de luminosidade próximos de x , temos que R tende a + ∞ , como R é o decrescimento da pupila, acontece o que esperávamos, pois quando a luminosidade é baixa a pupila tende a não dilatar.

Para um valores de luminosidade próximos de x , temos que S tende a - ∞ , como S   é o taxa de variação que a pupila dilata, acontece o que esperávamos, pois quando a luminosidade é baixa a pupila tende a não dilatar.

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