Enunciado

Faça o seguinte:

a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva.

b ) Trace a curva para ver como ela é

c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimento da curva numericamente.

y 2 + 2 y = 2 x + 1

De - 1 , - 1 a 7,3

Passo 1

Letra a

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Só que pela nossa equação, não temos diretamente se essa curva é função de x ou de y . Como temos um y 2 ali e só x , é mais fácil isolarmos o x e escrevermos a função de y .

y 2 + 2 y = 2 x + 1

2 x = y 2 + 2 y - 1

x = y 2 2 + y - 1 2

Como temos uma função de y , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' y 2 d y

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada, em y , da f y , que é a função que achamos.

Se olharmos os valores de y nos pontos ,vamos ter o intervalo de y = - 1 até y = 3 , vamos para a derivada.

f y = y 2 2 + y - 1 2

Derivando

f ' y = 2 y 2 + 1

f ' y = y + 1

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = ∫ - 1 3 1 + y + 1 2 d y

L = ∫ - 1 3 1 + y 2 + 2 y + 1 d y

L = ∫ - 1 3 y 2 + 2 y + 2 d y

Ele so quer a integral mesmo, não precisamos resolver não.

Passo 3

Letra b

Jogando a função num programa de fazer gráfico, vamos ter:

Essa é a curva que ele pediu.

Passo 4

Letra c

Jogando essa integral num programa, para resolver numericamente, vamos encontrar:

L ≅ 9,29

Resposta

Letra a

L = ∫ - 1 3 y 2 + 2 y + 2 d y

Letra b

Letra c

L ≅ 9,29

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Nos Exercícios 1-10, determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são.14- x = 1 - y 2 , - 1 2 ≤ y ≤ 1 2