Enunciado

Faça o seguinte:

a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva.

b ) Trace a curva para ver como ela é

c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimento da curva numericamente.

y = ∫ 0 x tg ⁡ t d t

0 ≤ x ≤ π 6

Passo 1

Letra a

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de x , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada da f x , que é a função do enunciado.

O intervalo é de x = 0 até x = π 6 , vamos para a derivada.

f x = ∫ 0 x tg ⁡ t d t

Para derivar, vamos usar o teorema fundamental do cálculo, encontramos:

f ' x = tg ⁡ x

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = ∫ 0 π 6 1 + tg ⁡ x 2 d x

L = ∫ 0 π 6 1 + tg 2 ⁡ x d x

Podemos fazer:

1 + tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

Assim, teremos:

L = ∫ 0 π 6 sec 2 ⁡ x d x

Nesse intervalo de integração, a secante é positiva. Então, podemos cortar o quadrado com a raiz sem a necessidade de colocar o módulo depois:

sec 2 ⁡ x = sec ⁡ x

A integral fica:

L = ∫ 0 π 6 sec ⁡ x d x

Ele so quer a integral mesmo, não precisamos resolver não.

Passo 3

Letra b

Jogando a função num programa de fazer gráfico, vamos ter:

Essa é a curva que ele pediu.

Passo 4

Letra c

Jogando essa integral num programa, para resolver numericamente, vamos encontrar:

L ≅ 0,55

Resposta

Letra a

L = ∫ 0 π 6 sec ⁡ x d x

Letra b

Letra c

L ≅ 0,55

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