Enunciado

Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ sec 2 ⁡ t t g 2 t + 3 t g   t + 2 d t

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

A questão pede para fazermos uma substituição, para expressar o integrando como uma função racional, e depois calcular a integral.

Uma função racional nada mais é do que qualquer função que possa ser expressa como uma razão de polinômios. Mas aqui a gente tem uma razão entre funções trigonométricas. Então, precisamos encontrar uma substituição que transforme essas funções em polinômios, pra gente poder integrar.

Sendo assim, vamos usar:

u = tan ⁡ t

d u = sec 2 ⁡ t   d t

Então, vamos lá!

Passo 2

Substituindo u = tan ⁡ t e d t = sec 2 ⁡ t   d t na integral, temos:

∫ sec 2 ⁡ t t g 2 t + 3 t g   t + 2 d t = ∫ 1 u 2 + 3 u + 2 d u

Então, já chegamos na nossa função racional. Agora falta integrar. Pra isso, como a gente tem uma fração que tem o grau do numerador menor do que o grau no denominador, nós podemos recorrer às frações parciais.

E para usar as frações parciais, precisamos fatorar o nosso denominador:

1 u 2 + 3 u + 2 = 1 ( u + 1 ) ( u + 2 )

Separando em frações parciais:

1 u 2 + 3 u + 2 = A u + 1 + B u + 2

Assim, tirando MMC do lado direito da equação, temos:

1 u 2 + 3 u + 2 = A u + 2 + B ( u + 1 ) ( u + 1 ) ( u + 2 )

Como os denominadores já são iguais, vamos igualar os numeradores:

1 = A u + 2 + B ( u + 1 )

Aplicando a distributiva nos produtos:

1 = A u + 2 A + B u + B

Colocando u em evidência:

1 = A + B u + 2 A + B

Passo 3

Agora vamos comparar os coeficientes de mesma potência. Repare que o único termo do lado direito que tem u é o ( A + B ) , do lado esquerdo não tem ninguém, então é zero:

A + B = 0

Aí sobra:

2 A + B = 1

Colocando isso em um sistema:

A + B = 0 2 A + B = 1

Resolvendo esse sistema, temos A = 1 e B = - 1 . Então, jogando isso na integral, teremos:

∫ 1 u 2 + 3 u + 2 d u = ∫ 1 u + 1 - 1 u + 2 d u

Passo 4

Agora vamos calcular a integral:

∫ 1 u + 1 - 1 u + 2 d u = ln ⁡ | u + 1 | - ln ⁡ | u + 2 | + C

Onde C é uma constante de integração. Só falta a gente voltar para a variável original t , usando a substituição que definimos no passo 1 ( u = tan ⁡ t ). Assim, temos:

∫ sec 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t + 3 tan ⁡ t + 2 d t = ln ⁡ | tan ⁡ t + 1 | - ln ⁡ | tan ⁡ t + 2 | + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

ln ⁡ | tan ⁡ t + 1 | - ln ⁡ | tan ⁡ t + 2 | + C

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