Enunciado

Uma família de curvas que intercepta uma dada família de curvas com um ângulo específico constante α ≠ π 2 é chamada de família isogonal. As duas famílias são chamadas de trajetórias isogonais uma da outra. Se d y d x = f ( x , y ) é a equação diferencial da família dada, mostre que a equação diferencial da família isogonal é

d y d x = f x , y ± t g α 1 ∓ f x , y t g α

Passo 1

E aí? Não se assusta não, vamos matar esse problema rapidinho

Pra começar, vamos imaginar uma curva da família dada, e aí ela vai ter uma reta tangente, ta imaginando?

E aí essa reta tangente forma um ângulo β com o eixo x .

Agora vamos imaginar a trajetória ortogonal, ela também é uma curva. Ela também vai ter uma reta tangente, mas essa reta forma um ângulo ϕ com o eixo x .

Ta difícil de imaginar? Cadê as ibagens?

Continuando: no ponto em que a curva roxa e a curva preta se interceptam, as retas tangentes (azul e laranja) vão formar um ângulo α entre elas

Existem duas formas de isso acontecer: a primeira é a da imagem que vimos aí em cima, a segunda é assim:

E o que muda de uma pra outra é o ϕ = β ± α

Passo 2

Então, a inclinação da reta tangente à trajetória (reta azul nas duas imagens) é

d y d x = t a n ⁡ ( θ )

d y d x = t a n ⁡ ( β ± α )

Lembrando da fórmula de tangente da soma e da diferença: temos tan ⁡ a ± b = tan ⁡ a ± t a n ⁡ ( b ) 1 ∓ tan ⁡ a . t a n ⁡ ( b ) , então:

d y d x = tan ⁡ β ± t a n ⁡ ( α ) 1 ∓ tan ⁡ β . t a n ⁡ ( α )

Mas t a n ⁡ ( β ) é justamente a derivada da curva roxa, então, tan ⁡ β = d y d x , certo? E d y d x = f ( x , y ) (dado do enunciado)

d y d x = f ( x , y ) ± t a n ⁡ ( α ) 1 ∓ f ( x , y ) . t a n ⁡ ( α )

E ta provadoooo meu povo!

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 29-34, encontre as trajetórias ortogonais das curvas dadas. r = c 1 . 1 + cos ⁡ θ
Nos problemas 29-34, encontre as trajetórias ortogonais das curvas dadas. r = 2 c 1 . cos ⁡ θ
Nos problemas 29-34, encontre as trajetórias ortogonais das curvas dadas. r = c 1 1 + c o s ⁡ ( θ )
Nos problemas 29-34, encontre as trajetórias ortogonais das curvas dadas. r 2 = c 1 . s e n 2 θ