Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1 - Capítulo 3.1 - Ex. 29

Nos problemas 29-34, encontre as trajetórias ortogonais das curvas dadas.

r = 2 c 1 . cos ⁡ θ

Passo 1

Bora lá matar esse probleminha?

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   r = 2 c 1 . cos ⁡ θ , certo?

Como nesse caso estamos trabalhando com coordenadas polares, temos que nos atentar a algumas coisas. A primeira é que em uma função r = f ( θ ) temos

r d θ d r = t g   ψ   ( I )

E também temos que duas curvas polares r 1 e r 2 são ortogonais somente se

t g   ψ 1 . t g   ψ 2 = - 1     ( I I )

Então, pra encontrarmos a equação diferencial das trajetórias ortogonais, vamos inverter ( I ) e multiplicar por - 1

Então vamos usar essas informações para encontrarmos as trajetórias ortogonais, belezinha?

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada da equação dada

r = 2 c 1 . cos ⁡ θ       ( I I I )

d r d θ = - 2 c 1 . s e n θ   ( I V )

Humm vamos isolar o c 1 lá na equação ( I I I ) , pra aí podermos substituir na equação ( I V )

r = 2 c 1 . cos ⁡ θ

c 1 = r 2 c o s ⁡ ( θ )

Substituindo em ( I V ) :

d r d θ = - 2 r 2 cos ⁡ θ . s e n θ

d r d θ = - r . tan ⁡ θ

Se liga só, vamos inverter os dois lados pra chegarmos em algo parecido com o que temos lá na equação ( I ) do passo 1

d θ d r = - 1 r . tan ⁡ θ

Passando o r pro outro lado:

r d θ d r = - 1 tan ⁡ θ

Então:

r d θ d r = - cot ⁡ θ = t g   ψ 1   ( V )

Passo 3

Agora vamos inverter a equação ( V ) e acrescentar um sinal de menos, que aí vamos ter a equação diferencial das trajetórias ortogonais:

r d θ d r = - cot ⁡ θ  

Invertendo:

r d θ d r = 1 tan ⁡ θ = t g   ψ 2

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

r d θ d r = 1 tan ⁡ θ

Multiplicando em cruz:

1 r d r = tan ⁡ θ d θ

Boa, agora é só integrar dos dois lados:

∫ 1 r d r = ∫ tan ⁡ θ d θ

ln ⁡ | r | = ln ⁡ s e n θ + c 2

Então:

r = e ln ⁡ s e n θ + c 2

r = e ln ⁡ s e n θ . e c 2

Mas e c 2 é uma constante, certo? Então vamos chamar de c 3

E por fimmm, temos

r = c 3 . s e n ( θ )

Resposta

r = c 3 . s e n ( θ )

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