Enunciado

Um tanque reservatório de água tem o formato de um cilndro com diâmetro de 10   p é s . Ele está montado de forma que as secções transversais circulares são verticais. Se a profundidade da água é 7 pés, qual é a porcentagem da capacidade total está sendo usada?

Passo 1

Vamos começar fazendo um desenho para representar a situação:

Queremos calcular a porcetangem pintada da área desse círculo, já que a proporção da área ocupada será a mesma do volume.

Passo 2

Para calcular a área desse círculo, precisamos de uma função para ele. Nesse caso, é melhor pegar a seguinte função:

f y = 25 - y 2   d y

Que dá a metade direita do círculo:

Podemos integrar essa função quando y varia de y = - 5 até y = 2 para encontrar a área ocupada por água. E depois é só multiplicar por dois para levar o outro lado em consideração!

Passo 3

Então vamos fazer a integral:

I = 2   ∫ 25 - y 2   d y

Como precisaremos fazer substiuições de variável, vamos deixar sem os limites de integração por enquanto.

Vamos aplicar uma substituição:

y = 5 sen ⁡ θ         ⇒         d y = 5 cos ⁡ θ

I = 2   ∫ 25 - 25 sen 2 ⁡ θ   5 cos ⁡ θ   d θ

E lembrando que 1 - sen 2 ⁡ θ = cos ⁡ θ :

I = 2   ∫ 5 cos ⁡ θ 2   d θ

I = 50   ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ

Passo 4

E agora só precisamos resolver essa integral de cos 2 ⁡ θ . Temos que usar uma substituição:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2

Então:

∫ cos 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2   d θ

∫ cos 2 ⁡ θ   d θ = θ 2 + sen ⁡ 2 θ 4

Substituindo de volta na integral de cima:

I = 50 θ 2 + sen ⁡ 2 θ 4

Agora precisamos “desfazer” as nossas substituições:

y = 5 sen ⁡ θ

sen ⁡ θ = y 5

θ = arcsen ⁡ y 5

Então:

I = 50 θ 2 + sen ⁡ 2 θ 4

I = 50 1 2 arcsen ⁡ y 5 + sen ⁡ 2 θ 4

E para substituir o sen ⁡ 2 θ , precisamos usar uma identidade trigonométrica:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

E lembrar que cos ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ :

sen ⁡ 2 θ = 2 y 5 1 - y 2 5 2 = 2 y 25 25 - y 2

Então:

I = 25 arcsen ⁡ y 5 + y 25 - y 2

Passo 5

Agora sim, podemos substituir os limites de integração. Tínhamos y variando de y = - 5 até y = 2 :

A = I 2 - I - 5

A = 25 arcsen ⁡ 2 5 + 2 25 - 4 - 25 arcsen ⁡ - 5 5 + y 25 - 25

A = 25 arcsen ⁡ 2 5 + 2 21 - 25 arcsen ⁡ - 5 5

A = 58,7

Essa é a área que está prenchida pela água. A água total do círculo é:

A T = π 5 2

Então a porcentagem de área ocupada é:

x = A A T = 58,7 25 π

x = 74,8 %

Resposta

Está sendo usada 74,8 % da capacidade total.

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