Enunciado

19. Se o fazendeiro no Exercicio 18 quiser englobar 150 metros quadrados de terra, que dimensões minimizarão o custo da cerca?

Passo 1

Vimos no exercício 18, que o desenho do cercado é esse:

Vimos também que a área total desse mesmo exercício foi de A = 600 m ² , como queremos englobar mais 150 m ² , temos então que a área total agora será de A 1 = 750 m ² . Dessa forma, podemos relacionar x e y, desse jeitinho ó:

A = x y = 750 m 2

x y = 750

Passo 2

Além disso, o exercício anterior informou pra gente que o custo desse cercado é dado por:

C = 30 x + 45 y

E usando a relação do Passo 1, temos que:

x y = 750 ⇒ x = 750 y

C = 30 750 y + 45 y

C = 22500 y + 45 y

Passo 3

E agora para descobrirmos o preço mínimo, podemos derivar essa função e igualar a zero que fica show de bola, saca só:

C ' = - 22500 y 2 + 45 = 0

45 = 22500 y 2

y 2 = 22500 45 = 500

y = 500 = 22,36 m

Logo, o valor de y que minimiza os custo é de y = 22,36 , e para x , temos que:

x y = 750

22,36 x = 750

x = 750 22,36 = 33,54 m

Resposta

O custo mínimo será quando x = 33,54 e y = 22,36

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