Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 80
A luz entra pelo olho através da pupila e atinge a retina, onde células fotorreceptoras percebem a luz e cor. W.Stanley Stiles e B.H. Crawford estudaram o fenômeno no qual o brilho medido diminui conforme a luz entra distante do centro da pupila (Ver a figura).
O raio de luz A que entra através do centro da pupila possui maior brilho em relação ao raio B entrando no canto da pupila.
Eles detalharam seus descobrimentos deste fenômeno, conhecido como o Efeito de Stiles-Crawford, em um importante artigo publicado em 1933. Em particular, eles observaram que a quantidade de luminosidade sentida não era proporcional a área da pupula como eles esperavam. A porcentagem P do total de luminosidade que entra na pupila de raio r mm que é sentida pela retina pode ser descrita por
Onde é uma constante experimental, de valor 0,05.
(a) Qual a porcentagem de luminosidade sentida por uma pupila de raio 3mm?
(b) Calcule a porcentagem de luminosidade sentida por uma pupila de raio 2mm. Faz sentido que ela seja maior que a resposta da letra (a)?
(c) Calcule O resultado é o esperado? Este resultado é fisicamente possível?
Passo 1
Bom pessoal, a equação que rege a porcentagem da luminosidade total que entra na pupila é dada por:
(a) Para uma pupila de 3 mm, temos que substituir este valor na equação:
Passo 2
(b) Para uma pupila de 2 mm:
Este resultado faz sentido, pois como a pupila é menor, sua área é mais concentrada no centro da pupila, região que a luminosidade é mais sentida pela retina. Quanto maior for a pupila, haverá regiões maiores que recebem luminosidade, mas que são pouco sentidas pela retina, o que faz a porcentagem diminuir para pupilas maiores.
Passo 3
(c) Para encontrar o limite, devemos substituir o valor:
Temos então uma indeterminação. Para resolver isto, podemos aplicar a regra de l’Hopital, derivando em cima e embaixo de forma isolada:
Voltando para o limite:
Substituindo o valor do limite:
Quando a pupila tende a um raio muito pequeno, então ela somente receberá luz no seu centro, região que a retina melhor percebe a luminosidade. Entretanto, é impossível que a retina perceba toda a luminosidade da pupila, pois parte desta luminosidade irá ser perdida mesmo dentro do olho.