Enunciado

A luz entra pelo olho através da pupila e atinge a retina, onde células fotorreceptoras percebem a luz e cor. W.Stanley Stiles e B.H. Crawford estudaram o fenômeno no qual o brilho medido diminui conforme a luz entra distante do centro da pupila (Ver a figura).

O raio de luz A que entra através do centro da pupila possui maior brilho em relação ao raio B entrando no canto da pupila.

Eles detalharam seus descobrimentos deste fenômeno, conhecido como o Efeito de Stiles-Crawford, em um importante artigo publicado em 1933. Em particular, eles observaram que a quantidade de luminosidade sentida não era proporcional a área da pupula como eles esperavam. A porcentagem P do total de luminosidade que entra na pupila de raio r mm que é sentida pela retina pode ser descrita por

P = 1 - 10 - ρ r 2 ρ r 2 ln ⁡ 10  

Onde ρ é uma constante experimental, de valor 0,05.

(a) Qual a porcentagem de luminosidade sentida por uma pupila de raio 3mm?

(b) Calcule a porcentagem de luminosidade sentida por uma pupila de raio 2mm. Faz sentido que ela seja maior que a resposta da letra (a)?

(c) Calcule lim r → 0 + ⁡ P .   O resultado é o esperado? Este resultado é fisicamente possível?

Passo 1

Bom pessoal, a equação que rege a porcentagem da luminosidade total que entra na pupila é dada por:

P = 1 - 10 - ρ r 2 ρ r 2 ln ⁡ 10  

(a) Para uma pupila de 3 mm, temos que substituir este valor na equação:

P = 1 - 10 - ( 0,05 ) 3 2 ( 0,05 ) 3 2 ln ⁡ 10

P = 0,6227 = 62,27 %

Passo 2

(b) Para uma pupila de 2 mm:

P = 1 - 10 - ( 0,05 ) 2 2 ( 0,05 ) 2 2 ln ⁡ 10

P = 0 , 8014 = 80,14 %

Este resultado faz sentido, pois como a pupila é menor, sua área é mais concentrada no centro da pupila, região que a luminosidade é mais sentida pela retina. Quanto maior for a pupila, haverá regiões maiores que recebem luminosidade, mas que são pouco sentidas pela retina, o que faz a porcentagem diminuir para pupilas maiores.

Passo 3

(c) Para encontrar o limite, devemos substituir o valor:

lim r → 0 + ⁡ 1 - 10 - ρ r 2 ρ r 2 ln ⁡ 10 = 0 0

Temos então uma indeterminação. Para resolver isto, podemos aplicar a regra de l’Hopital, derivando em cima e embaixo de forma isolada:

1 - 10 - ρ r 2 ' = 2 1 - ρ r 2   5 - ρ r 2   ρ r ln ⁡ 10

ρ r 2 ln ⁡ 10 ' = 2 ρ r ln ⁡ 10

Voltando para o limite:

l i m r → 0 + 2 1 - ρ r 2   5 - ρ r 2   ρ r ln ⁡ 10 2 ρ r ln ⁡ 10 = 2 1 - ρ r 2   5 - ρ r 2 2

Substituindo o valor do limite:

l i m r → 0 + = 2 - ρ r 2   5 - ρ r 2 = 1

Quando a pupila tende a um raio muito pequeno, então ela somente receberá luz no seu centro, região que a retina melhor percebe a luminosidade. Entretanto, é impossível que a retina perceba toda a luminosidade da pupila, pois parte desta luminosidade irá ser perdida mesmo dentro do olho.

Resposta

  1. P = 0,6227 = 62,27 %
  2. P = 0,8014 = 80,14 %
  3. l i m r → 0 + P = 1
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