Enunciado

Fazer um esboço do gráfico de f , determinando:

. Os extremos relativos de f ;

. Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

. Os intervalos onde f é crescente e aqueles nos quais f é decrescente;

. Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo;

Da função f x = s e n 2 x - c o s 2 x dentro do intervalo de - 3 8 π < x < 5 8 π

Passo 1

Legal gente, sem pânico! Temos milhões de coisas pra calcularmos, então vamos ser organizados e dividir tudo em pequenos passos de cada vez. A primeira coisa que a questão nos pede, é que determinemos os extremos relativos de f. Para isso, temos que:

  1. Fazer a primeira derivada e igualar a 0 para achar um c
  2. Fazer a segunda derivada e realizar um teste para determinamos se é um extremo ou mínimo relativo.

Então, nossa função é dada por:

f x = s e n 2 x - c o s 2 x

Derivando e igualando a 0, temos que:

2   ( c o s ( 2   x )   +   s e n ( 2   x ) ) = 0

Resolvendo essa equação, observamos que as raízes são para todo x (considerando “n” um número inteiro qualquer):

x = - π 8   + n   π 2

Passo 2

Ufa, primeira parte já foi! Para a segunda parte, precisamos definir o nosso ponto de inflexão. Resumindo, vamos derivar 3 vezes e achar esses pontos? PREPARADOS? SIMBORA!

f ' x = 2   ( c o s ( 2   x )   +   s e n ( 2   x ) )

f ' ' x = 4   ( c o s ( 2   x )   -   s i n ( 2   x ) )

Neste ponto, igualamos a 0 e temos nossos primeiros candidatos a pontos de inflexão.

f ' ' x = 4   c o s 2   x -   s i n 2   x = 0

x = - 3   π 8   + n   π 2

Agora derivamos mais uma vez, e verificamos que se o nosso x for diferente de 0, os nossos pontos achados acima são pontos de inflexão.

f ' ' ' x = - 8   ( c o s ( 2   x )   +   s i n ( 2   x ) )

Percebemos então que os nossos pontos de:

x = - 3   π 8   + n   π 2

São pontos de inflexão. Isso é normal gente, existem n pontos de inflexão porque a nossa função é uma senóide. Então toda vez que ela toca o 0, ela muda de concavidade, logo tem “n” pontos de inflexão.

Passo 3

Observamos pelo gráfico acima, que ela decresce de - 3 8 π e a partir dai sobe até 5 8 π . Sendo assim as nossas concavidades.

Resposta

Extremos relativos:   x = - π 8   + n   π 2

Pontos de inflexão: x = - 3   π 8   + n   π 2

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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