Enunciado

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de f ;

Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

Os intervalos em que f é crescente

Os intervalos em que f é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

f x = x 9 - x 2

Passo 1

Essa função tem domínio sendo:

9 - x 2 > 0 → x 2 < 9 → - 3 < x < 3

Vamos para as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Como x esta entra - 3 e 3 , não teremos assíntota com + ∞ nem - ∞

Tanto na horizontal quanto na oblíqua

Passo 2

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de x que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for 0 . Aqui, temos uma potencia racional, que é uma fração na potência. Nesses casos não teremos assíntotas verticais.

Passo 3

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de f ' x .

Derivando usando a regra do produto, vamos ter:

f ' x = x ' 9 - x 2 + x 9 - x 2 '

f ' x = 9 - x 2 + x 9 - x 2 1 2 '

f ' x = 9 - x 2 + x 1 2 9 - x 2 - 1 2 - 2 x

f ' x = 9 - x 2 - x 2 9 - x 2

f ' x = 9 - x 2 2 - x 2 9 - x 2

Como 9 - x 2 é sempre positivo, vamos ter:

f ' x = 9 - x 2 - x 2 9 - x 2

f ' x = 9 - 2 x 2 9 - x 2

A raiz do denominador é sempre positiva, então o sinal depende só de 9 - 2 x 2 . Vamos olahr seu gráfico:

Entre as raízes vai ser positivo, e fora vai ser negativo. Mas o nosso

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - 2 3 , 2 3

f ' x < 0 ⟷ x ∈ - ∞ , - 2 3 ∪ 2 3 , + ∞

Lembrando que a função vai só de - 3 até 3 , então o intervalo fica:

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - 2 3 , 2 3

f ' x < 0 ⟷ x ∈ - 3 , - 2 3 ∪ 2 3 , + 3

Lembrando que o domínio limita a função em 0

A função é crescente se f ' x > 0 e decrescente se f ' x < 0 , então:

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 2 3 , 2 3

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 3 , - 2 3 ∪ 2 3 , + 3

Passo 4

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

x = 2 3 → m á x i m o

x = - 2 3 → m í n i m o

Passo 5

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se f ' ' x > 0 e côncava para baixo se f ' ' x < 0 .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Vamos pegar

f ' x = 9 - 2 x 2 9 - x 2

Usando a regra do quociente:

f ' ' x = 9 - 2 x 2 ' 9 - x 2 - 3 - x 2 9 - x 2 ' 9 - x 2 2

f ' ' x = - 4 x 9 - x 2 - 9 - 2 x 2 1 2 9 - x 2 - 1 2 - 2 x 9 - x 2

Podemos não colocar o módulo ali no denominador, porque o domínio dizque 9 - x 2 é positivo

f ' ' x = - 4 x 9 - x 2 + x 9 - 2 x 2 9 - x 2 9 - x 2

f ' ' x = - 4 x 9 - x 2 + x 9 - 2 x 2 9 - x 2 9 - x 2

f ' ' x = - 4 x 9 - x 2 + x 9 - 2 x 2 9 - x 2 9 - x 2

f ' ' x = - 36 x + 4 x 3 + 9 x - 2 x 3 9 - x 2 9 - x 2

f ' ' x = - 27 x + 2 x 3 9 - x 2 9 - x 2

Colocando 2 x em evidência:

f ' ' x = 2 x x 2 - 27 2 9 - x 2 9 - x 2

Como x está entre - 3 e 3 , e 27 2 = 13,5 , vamos ter que x 2 - 27 2 é sempre negativo.

O nosso denominador vai ser sempre positivo.

O sinal da segunda derivada vai depender só de:

2 x

Então:

2 x > 0 → x > 0

2 x < 0 → x < 0

Esse ssinais vão trocar ao olhar a derivada, porque o x 2 - 27 2 é negativo:

f ' ' x < 0 ⟺ x ∈ 0 , + ∞

f ' ' x > 0 ⟺ x ∈ - ∞ , 0

LEbrmando que o nosso domínio para em 0

Então:

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x ∈ 0 , + ∞

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ - ∞ , 0

Assim, x = 0 é ponto de inflexão:

Passo 6

Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.

Não possui assíntota

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 2 3 , 2 3

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 3 , - 2 3 ∪ 2 3 , + 3

x = 2 3 → m á x i m o

x = - 2 3 → m í n i m o

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x ∈ 0 , + ∞

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ - ∞ , 0

x = 0 ponto de inflexão

O gráfico vai ficar:

Resposta

Não possui assíntota

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 2 3 , 2 3

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 3 , - 2 3 ∪ 2 3 , + 3

x = 2 3 → m á x i m o

x = - 2 3 → m í n i m o

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x ∈ 0 , + ∞

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ - ∞ , 0

x = 0 ponto de inflexão

O gráfico vai ficar:

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