Enunciado

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de f ;

Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

Os intervalos em que f é crescente

Os intervalos em que f é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

f x = 3 x 1 3 - x

Passo 1

Vamos para as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Passo 2

Agora vamos aos limites.

lim x → - ∞ ⁡ f x

Vai ficar:

lim x → - ∞ ⁡ 3 x 1 3 - x

Colocando x em evidência:

lim x → - ∞ ⁡ 3 x 1 3 - 2 x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 2 3 - 1 = - ∞ 0 - 1 = + ∞

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

Passo 3

Agora vamos aos limites.

lim x → + ∞ ⁡ f x

Vai ficar:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 1 3 - 2 x

Colocando x em evidência:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 1 3 - 2 x = lim x → + ∞ ⁡ x 3 x 2 3 - 1 = + ∞ 0 - 1 = - ∞

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

Passo 4

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes a e b de y = a x + b que é a equação da assíntota obliqua.

De novo, por contas domínio, só vamos olhar para o x → - ∞

Para isso, devemos fazer

a = lim x → - ∞ ⁡ f ' x

Se esse valor existir, aí fazemos

b = lim x → - ∞ ⁡ f x - a x

Passo 5

Para acharmos a derivada, vamos usar a regra do produto:

f ' x = 3 1 3 x - 2 3 - 2 = 1 x 2 3 - 1

Agora vamos aos limites.

lim x → - ∞ ⁡ f ' x

Vai ficar:

lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 3 - 1 = 1 ∞ - 1 = - 1

Então temos assíntota oblíqua desse lado.

Vamos achar o valor de b

Passo 6

b = lim x → - ∞ ⁡ f x - a x

Colocando os valores:

b = lim x → - ∞ ⁡ 3 x 1 3 - x - - x = lim x → - ∞ ⁡ 3 x 1 3 = + ∞

Pera, achamos o a mas o b deu infinito. Isso pode rolar, basicamente isso faz com que a nossa assíntota não exista.

Passo 7

Pelo outro lado

lim x → + ∞ ⁡ f ' x

Vai ficar:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 3 - 1 = 1 ∞ - 1 = - 1

Então temos assíntota oblíqua desse lado.

Vamos achar o valor de b

Passo 8

b = lim x → + ∞ ⁡ f x - a x

Colocando os valores:

b = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 1 3 - x - - x = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 1 3 = + ∞

Pera, achamos o a mas o b deu infinito. Isso pode rolar, basicamente isso faz com que a nossa assíntota não exista.

Entao não tereos nenhuma assíntota obliqua

Passo 9

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de x que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for 0 . Aqui, temos uma potencia racional, que é uma fração na potência. Nesses casos não teremos assíntotas verticais.

Passo 10

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de f ' x .

f ' x = 1 x 2 3 - 1

Vamos arrumar isso

f ' x = 1 - x 2 3 x 2 3

Para analisar isso, temos que fazer o quadro de sinais. O nosso denominador será sempre positivo. Entao vamso olhar so

1 - x 2 3

Analisando seu sinal:

1 - x 2 3 > 0 → x 2 < 1 → - 1 < x < 1

1 - x 2 3 < 0 → x 2 > 1 → x < - 1     o u   x > 1

Então, vamos ter:

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - 1 , 1

f ' x < 0 ⟷ x ∈ - ∞ , 1 ∪ 1 , + ∞

A função é crescente se f ' x > 0 e decrescente se f ' x < 0 , então:

C r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 1 , 1

D e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 1 , + ∞

Passo 11

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

x = 1 → m á x i m o

x = - 1 → m í n i m o

Passo 12

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se f ' ' x > 0 e côncava para baixo se f ' ' x < 0 .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Vamos pegar

f ' x = 1 x 2 3 - 1 = x - 2 3 - 1

Derivando

f ' ' x = - 2 3 x - 5 3

Vmaos ter

x - 5 3 > 0 → x > 0

x - 5 3 < 0 → x < 0

Mas aquele - 2 3 vai inverter isso, Asism, nossa derivada fica:

f ' ' x < 0 ⟺ x > 0

f ' ' x > 0 ⟺ x < 0

Então:

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x > 0

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x < 0

Isso nos diz que x = 0 é um ponto de inflexão

Passo 13

Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.

Não possui assíntota

C r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 1,1

D e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 1 , + ∞

x = 1 → m á x i m o

x = - 1 → m í n i m o

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x > 0

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x < 0

x = 0 ponto de inflexão

O gráfico vai ficar:

Resposta

Não possui assíntota

C r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 1,1

D e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 1 , + ∞

x = 1 → m á x i m o

x = - 1 → m í n i m o

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x > 0

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x < 0

x = 0 ponto de inflexão

O gráfico vai ficar:

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