Enunciado

A figura mostra o gráfico de f ,   f '   e   f ' ' . Identifique cada curva e explique suas escolhas

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos três gráficos de funções e nosso objetivo é determinar quem é f , f ' e f ' ' .

Uma ideia que podemos usar nesse problema é de que a derivada de uma função em um ponto é igual a sua inclinação da reta tangente...

Dessa forma, podemos encontrar os pontos de máximo, ou mínimo, de uma das funções e verificar qual das outras funções corta o eixo x nesse mesmo ponto.

OBS: Podemos fazer isso pois em um ponto de máximo ou mínimo, a reta tangente à curva é horizontal e portanto, tem inclinação 0 .

Veja só!

Passo 2

Vamos começar com a curva a ...

Perceba que a possui apenar um ponto de máximo, isso implica que sua derivada corta o eixo x apenas uma vez.

No ponto que a é máximo, apenas a curva b corta o eixo x , por isso, podemos afirmar que b é a derivada de a

b = a '

Ainda não sabemos quem é f , então vamos analisar a próxima curva!

Passo 3

Analisando a curva b , vemos que ela tambem possui um ponto de máximo.

Traçando a reta nesse ponto, chegamos em

Podemos perceber que quando b está no ponto máximo, c corta o eixo x , logo, pela mesma logica do passo anterior, vemos que c é a derivada de b .

c = b '

Aqui já podemos ter uma resposta, mas por via das duvidas, vamos analisar a outra curva.

Passo 4

Por fim, analisando a curva c , vemos que aqui temos um ponto de máximo e um de mínimo...

Traçando as retas nesses pontos, temos

Nos pontos que c tem reta tangente horizontal (nos dois pontos de máximo e mínimo) não existe nenhuma outra curva que corta o eixo x , logo, c não possui nenhuma derivada.

A partir das informações que obtivemos até agora, sabemos que b = a ' e que c = b ' , portanto c = a ' ' .

Logo, fazendo a = f , vamos obter b = f ' e c = f ' ' .

E então! O que achou? Responde Aí!

Resposta

a   =   f ,     b   =   f ' ,     c   =   f ' '

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