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Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função

f x = x 2 - 3 x + 2 x + 4

Passo 1

Vamos começar pelas assíntotas horizontais.

Para encontra-las demos que calcular dois limites

lim x → + ∞ ⁡ f x

E

lim x → - ∞ ⁡ f x

Se agum desses limites der algum número, então teremos assíntotas horizontais.

Vamos começar com

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 x + 2 x + 4

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

x 2 - 3 x + 2 x + 4

Passo 2

O nosso numerador é

x 2 - 3 x + 2

Colocando x 2 em evidência

x 2 1 - 3 x + 2 x 2

Passo 3

O nosso denominador vai ser

x + 4

Colocando x em evidência

x 1 + 4 x

Passo 4

A nossa fração vai ficar

x 2 - 3 x + 2 x + 4 = x 2 1 - 3 x + 2 x 2 x 1 + 4 x = x 1 - 3 x + 2 x 2 1 + 4 x

Agora, vamos tomar o limite

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 x + 2 x + 4 = lim x → + ∞ ⁡ x 1 - 3 x + 2 x 2 1 + 4 x

Lembrando que o limite de um número sobre é sempre 0 , vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ x 1 - 3 x + 2 x 2 1 + 4 x = + ∞ 1 - 0 + 0 1 - 0 = + ∞ 1 = + ∞

Assim, não teremos assíntota horizontal desse lado.

Passo 5

Vamos para o outro limite

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 3 x + 2 x + 4

Temos a mesma situação de antes, então já podemos utilizar aquela fração final

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 3 x + 2 x + 4 = lim x → - ∞ ⁡ x 1 - 3 x + 2 x 2 1 + 4 x = - ∞ 1 - 0 + 0 1 - 0 = - ∞ 1 = - ∞

Assim, não teremos assíntota horizontal desse lado.

Passo 6

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

x + 4 = 0

x = - 4

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais, para entender o comportamento da função. Ou seja, calcular

lim x → - 4 + ⁡ f x

E

lim x → - 4 - ⁡ f x

Passo 7

Começando com

lim x → - 4 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 4 + ⁡ x 2 - 3 x + 2 x + 4 = - 4 2 - 3 - 4 + 2 - 4 + 4 = 16 + 12 + 2 0 = 30 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 4 , neste caso, pela direita.

Pela direita, significa pegar valores maiores que - 4 , logo o nosso denominador, que é x + 4 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo.

O nosso numerador vai ser x 2 - 3 x + 2 , como x está próximo de - 4 , ele vai ficar próximo de - 4 2 - 3 - 4 + 2 = 1 , então é positivo.

Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de positivo com positivo, para valores maiores que - 4 .

E isso nos diz que

lim x → - 4 + ⁡ x 2 - 3 x + 2 x + 4 = + ∞

Passo 8

Começando com

lim x → - 4 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 3 x + 2 x + 4 = - 4 2 - 3 - 4 + 2 - 4 + 4 = 16 + 12 + 2 0 = 30 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 4 , neste caso, pela esquerda.

Pela esquerda, significa pegar valores menores que - 4 , logo o nosso denominador, que é x + 4 , vai assumir valores menores que 0 , sendo negativo.

O nosso numerador vai ser x 2 - 3 x + 2 , como x está próximo de - 4 , ele vai ficar próximo de - 4 2 - 3 - 4 + 2 = 1 , então é positivo.

Assim, nossa fração vai ser negativa, porque é divisão de positivo com negativo, para valores maiores que - 4

E isso nos diz que

lim x → - 4 - ⁡ x 2 - 3 x + 2 x + 4 = - ∞

Passo 9

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = - 4

É assíntota vertical.

Não teremos assíntotas horizontais.

E ver como fica o esboço.

O esboço vai ficar

Resposta

Assíntota vertical:

x = - 4

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