Enunciado

A figura a seguir mostra a curva a aceleração versus tempo de uma partícula que se move ao longo de um eixo. Se a velocidade inicial da partícula for de 20   m / s , estime

( a ) a velocidade no instante t = 4   s ;

( b ) a velocidade no instante t = 6   s .

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, precisamos aplicar a integral para fazer o cálculo das funções de movimento, como deslocamento, velocidade e aceleração. Para o caso em questão, o que é pedido é a velocidade de uma partícula em determinados instantes de tempo.

Então, lembrando da relação entre velocidade e aceleração:

v e l o c i d a d e = a c e l e r a ç ã o t e m p o

Usando a integral, para um intervalo de tempo t 0 , t 1 , a velocidade da partícula será dada por:

v t = v t 1 - v t 0 = ∫ t 0 t 1 a t d t

No entanto, precisamos incluir outra informação nessa equação. Como a partícula não parte do repouso, precisamos acrescentar a velocidade inicial que foi dada no enunciado:

v t = v 0 + ∫ t 0 t 1 a t d t

Ou seja:

v t = 20 + ∫ t 0 t 1 a t d t

Passo 2

Porém, como a função que define a aceleração não é dada, não conseguimos calcular a integral apenas pela substituição da função. Mas não tema! Conseguimos encontrar o resultado através de outro caminho.

Lembrando que a integral representa a área sob uma curva dada, podemos aplicar esse princípio para o cálculo da nossa integral da aceleração, somando as pequenas áreas em cada coluna de quadrados do gráfico aceleração versus tempo.

Dessa forma, supondo que cada quadrado tenha dimensões de 1 × 1 , vamos somar a área embaixo da curva da aceleração em cada intervalo de 1 s .

Passo 3

Logo, fazendo um esboço, aproximando a curva à uma linha reta, e separando cada coluna de quadrados, temos que analisar qual é a área abaixo da curva (que está representada no esboço pela linha vermelha):

Logo, para a primeira coluna podemos fazer uma área de triângulo:

A 1 = 1 × 2 2 = 1

E para as outras colunas podemos aplicar a fórmula da área de um trapézio:

A 2 = 2 + 4 × 1 2 = 3

A 3 = 4 + 5,5 × 1 2 = 4,75

A 4 = 5,5 + 7 × 1 2 = 6,25

A 5 = 7 + 8 × 1 2 = 7 , 5

A 6 = 8 + 9 × 1 2 = 8,5

Assim, o cálculo da nossa velocidade se dará por:

v t = 20 + ∫ t 0 t 1 a t d t = 20 + A T

E, como os valores das “mini áreas” são aproximados, teremos:

v t ≈ 20 + 1 + 3 + 4,75 + 6,25 + 7,5 + 8,5 = 51   m / s

A diferença do valor real se dá por causa da aproximação feita através de uma reta ao invés da própria curva.

Resposta

v t ≈ 51   m / s

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