Enunciado

Em cada parte, é dada a curva velocidade versus tempo de uma partícula que se move ao longo de uma reta. Use a curva para encontrar o deslocamento e a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 3 .

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, precisamos aplicar a integral para fazer o cálculo das funções de movimento, como deslocamento, velocidade e aceleração. Para o caso em questão, o que é pedido é apenas o deslocamento de uma partícula e a distância que ela percorreu em um determinado intervalo de tempo.

Então, lembrando da relação entre velocidade e posição:

s = v e l o c i d a d e t e m p o

Usando a integral, para um intervalo de tempo t 0 , t 1 , o deslocamento da partícula será dado por:

s t = s t 1 - s t 0 = ∫ t 0 t 1 v t d t

E a distância total percorrida pela partícula será dada por:

d = ∫ t 0 t 1 v t d t

Passo 2

Então, como a curva dada é uma curva da velocidade em relação ao tempo, podemos descobrir o valor ou a função que define a velocidade.

Logo, para o exercício d , a função velocidade será dada por uma função de primeiro grau para cada inclinação da reta:

v t = t   n o   i n t e r v a l o   d e   t e m p o   0 ,   1

E

v t = 1   n o   i n t e r v a l o   d e   t e m p o   1 ,   2

E

v t = - 2 t + 5   n o   i n t e r v a l o   d e   t e m p o   2 ,   3

Assim, o deslocamento pode ser escrito pela integral:

s t = ∫ 0 1 t d t + ∫ 1 2 1 d t + ∫ 2 3 - 2 t + 5 d t

Que, calculada, resulta em:

s t = t 2 2 | 1 0 + t | 2 1 + - t 2 + 5 t | 3 2

E, substituindo o intervalo de integração (que é o intervalo de tempo que a partícula percorreu), teremos:

s t = 1 2 - 0 + 2 - 1 + - 9 + 15 + 4 - 10

Ou seja:

s t = 3 2

Passo 3

Fazendo da mesma forma, vamos calcular a distância percorrida pela partícula através da integral citada. Então, para cada intervalo, a velocidade assumirá valores positivos e negativos, tal que:

Para 0 ,   1 , a velocidade é positiva e, logo:

  v t = t

Como em 1 ,   2 , a velocidade é positiva, o seu módulo assumirá o valor oposto:

  v t = 1

No entanto, para o intervalo 2 ,   3 , o módulo da velocidade será dado por dois valores diferentes, visto que a velocidade muda de sinal no meio desse intervalo. Então:

Para 2 ,   5 / 2 → v t = - 2 t + 5

E para 5 / 2 ,   3 → v t = - - 2 t + 5 = 2 t - 5

Dessa forma:

d = ∫ 0 1 t d t + ∫ 1 2 1 d t + ∫ 2 5 / 2 - 2 t + 5 d t + ∫ 5 / 2 3 2 t - 5 d t

Que resulta em:

d = t 2 2 1 0 + t 2 1 + - t 2 + 5 t | 5 / 2 2 + t 2 - 5 t | 3 5 / 2

E, substituindo o intervalo de integração, teremos:

d = 1 2 - 0 + 2 - 1 + - 25 4 + 25 2 + 4 - 10 + 9 - 15 - 25 4 + 25 2

Portanto:

d = 2

Resposta

s t = 3 2

d = 2

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