Calcule as integrais que convirjam.

∫ - 1 8 x - 1 / 3 d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ - 1 8 x - 1 / 3 d x

O integrando não está definido para um valor entre os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ - 1 8 x - 1 / 3 d x = lim a → 0 - ⁡ ∫ - 1 a x - 1 / 3 d x + lim b → 0 + ⁡ ∫ b 8 x - 1 / 3 d x

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Assim, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) de forma direta, teremos:

lim a → 0 - ⁡ ∫ - 1 a x - 1 / 3 d x = lim a → 0 - ⁡ 3 2 x 2 / 3 | a - 1

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → 0 - ⁡ ∫ - 1 a x - 1 / 3 d x = 3 2 lim a → 0 - ⁡ a 2 / 3 - - 1 2 / 3 | a - 1

Logo:

lim a → 0 - ⁡ ∫ - 1 a x - 1 / 3 d x = - 3 2

Como um dos limites resultou em um valor inteiro, é necessário calcular o outro limite para verificar se a integral será convergente ou não.

Passo 5

Com isso, precisamos resolver o outro limite através do mesmo método. Logo:

lim b → 0 + ⁡ ∫ b 8 x - 1 / 3 d x = lim b → 0 + ⁡ 3 2 x 2 / 3 | 8 b

Passo 6

Novamente, substituindo o intervalo de integração:

lim b → 0 + ⁡ ∫ b 8 x - 1 / 3 d x = 3 2 lim b → 0 + ⁡ 8 2 / 3 - b 2 / 3

Logo:

lim b → 0 + ⁡ ∫ b 8 x - 1 / 3 d x = 3 2 4 = 6

Passo 7

Portanto, como ambos os limites resultam em valores inteiros, a integral será dada pela soma deles, tal que:

∫ - 1 8 x - 1 / 3 d x = - 3 2 + 6

Logo:

∫ - 1 8 x - 1 / 3 d x = 9 2

Resposta

∫ - 1 8 x - 1 / 3 d x = 9 2

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