Enunciado

Um fio delgado é preso em dois suportes fixos de mesma altura, tomando a forma da catenária y = cosh ⁡ x ,   - 2 ≤ x ≤ 2 . Supondo que a densidade do fio seja a mesma em todos os pontos, calcular a massa do fio.

Passo 1

A densidade aqui é constante, então vamos chamar de K .

Nossa superfície já está parametrizada, então vamos derivar a parametrização:

y ' = s e n h   x

Temos então: σ ' x = ( 1 ,   s e n h   x )

A norma então é:

1 2 + s e n h 2 x =  

E como cosh 2 ⁡ x - s e n h 2 x = 1 …

= cosh 2 ⁡ x = cosh ⁡ x

Passo 2

Montamos a integral da massa agora:

∫ - 2 2 K cosh ⁡ x   d x

K s e n h   x - 2 2

= K   s e n h   2 - s e n h - 2

Substituindo pela definição de s e n h   x ...

= K e 2 - e - 2 2 - e - 2 - e 2 2

M = K e 2 - e - 2

Prontinho! Essa é a massa procurada😉

Resposta

M = K e 2 - e - 2

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