Seja u → = x 2 - y 2 ⋅ ∇ f . Calcular div u no ponto P(1, 2.3) sendo:

b) f = xyz + 2xy

Passo 1

Queremos encontrar div ⁡ u → , para isso, sabemos que pela propriedade 6.7 . 3 b

div ⁡ h f → = h div ⁡ f → + grad ⁡ h ⋅ f →

Ou seja:

div ⁡ u → = div ⁡ h f → = div ⁡ h ∇ f = h div ⁡ ∇ f + ∇ h ⋅ ∇ f

div ⁡ u → = h div ⁡ ∇ f + ∇ h ⋅ ∇ f                   1

Passo 2

Pela expressão 2 que encontramos, precisamos calcular o gradiente de f .

O gradiente de f é o seguinte:

∇ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

∇ f = ∂ x y z + 2 x y ∂ x i → + ∂ x y z + 2 x y ∂ y j → + ∂ x y z + 2 x y ∂ z k →

∇ f = y z + 2 y i → + x z + 2 x j → + x y k →

f → = y z + 2 y i → + x z + 2 x j → + x y k →

Vamos também precisar do gradiente de h = x 2 - y 2 .

O gradiente de f é o seguinte:

∇ h = ∂ h ∂ x i → + ∂ h ∂ y j → + ∂ h ∂ z k →

∇ h = ∂ x 2 - y 2 ∂ x i → + ∂ x 2 - y 2 ∂ y j → + ∂ x 2 - y 2 ∂ z k →

∇ h = 2 x i → + - 2 y j → + 0 k →

h → = 2 x i → + - 2 y j → + 0 k →

Passo 3

Também precisamos calcular div ⁡ ∇ f .

div ⁡ f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Aplicando a formula cima em f → temos:

f → = y z + 2 y i → + x z + 2 x j → + x y k →

div ⁡ f → = ∂ ∂ x y z + 2 y + ∂ ∂ y x z + 2 x + ∂ ∂ z x y

div ⁡ f → = 0 + 0 + 0 + 0 + 0

div ⁡ f → = 0

Passo 4

Podemos substituir div ⁡ f → , grad ⁡ f e grad ⁡ h em 1 para encontrar div ⁡ u → . Então basta fazermos o seguinte:

div ⁡ u → = h div ⁡ ∇ f + ∇ h ⋅ ∇ f

div ⁡ u → = x 2 - y 2 ⋅ 0 + 2 x i → + - 2 y j → + 0 k → ⋅ y z + 2 y i → + x z + 2 x j → + x y k →  

div ⁡ u → = 2 x y z + 4 x y cos ⁡ 0 + - 2 x y z - 4 x y cos ⁡ 0 + 0 cos ⁡ 0

div ⁡ u → = 2 x y z + 4 x y 1 + - 2 x y z - 4 x y 1 + 0 1

div ⁡ u → = 2 x y z + 4 x y - 2 x y z - 4 x y

div ⁡ u → = 0

Passo 5

Como div ⁡ u → encontrado é 0 , isso significa que independentemente do ponto ele será zero. Para o ponto P ( 1 , 2,3 ) .

div ⁡ u → = 0

Resposta

div ⁡ u → = 0

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