Dado o campo vetorial f→ , calcular div f .

f(x, y, z) = ln(xy) i + x j + z k

Passo 1

Nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular a divergência do campo vetorial f → dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá a divergência do campo.

Vamos considerar o campo f → :

f → x ,   y ,   z = f 1 x ,   y ,   z   i → + f 2 x ,   y ,   z   j → + f 3 x ,   y ,   z   k →

A divergência desse campo vai ser:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

f → x ,   y ,   z = ln ⁡ x y   i → + x   j → + z   k →

Então,

f 1 = ln ⁡ x y

f 2 = x

f 3 = z

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia!

∂ f 1 ∂ x = ∂ ( ln ⁡ x y ) ∂ x = 1 x y × y = 1 x

∂ f 2 ∂ y = ∂ ( x ) ∂ y = 0

∂ f 3 ∂ z = ∂ ( z ) ∂ z = 1

Passo 3

Juntando tudo:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Substituindo,

d i v   f → = 1 x + 1

Fechou!

Resposta

d i v   f → = 1 x + 1

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