Enunciado

Um foguete acelera pela queima do combustível a bordo; assim, sua massa diminui com o tempo. Suponha que a massa inicial do foguete no lançamento (incluindo seu combustível) seja m , o combustível seja consumido a uma taxa r , e os gases de exaustão sejam ejetados a uma velocidade constante v e (relativa ao foguete). Um modelo para a velocidade do foguete no instante t é dado pela seguinte equação

v t = - g t - v e ln ⁡ m - r t m ,

onde g é a aceleração da gravidade e t não é muito grande. Se g = 9,8   m / s ² , m = 30.000   k g , r = 160   k g / s , e v e = 3.000   m / s , encontre a altitude do foguete 1 minuto após o lançamento.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a altitude do foguete 1 minuto após o lançamento.

Para isso, o enunciado nos deu a seguinte função que mostra a velocidade v do foguete no instante t (em segundos):

v t = - g t - v e ln ⁡ m - r t m

Onde g é a aceleração da gravidade, v e é a velocidade relativa ao foguete em que os gases de exaustão são ejetados, m é a massa inicial do foguete (incluindo a do combustível) e r é a taxa de consumo do combustível.

Nesse sentido, como queremos calcular a altitude do foguete 1 minuto após o lançamento, devemos integrar v t no intervalo de 0 a 60 segundos.

Mas por quê?? Bom... lembra que a derivada do espaço em relação ao tempo é a velocidade?? Pois aqui a gente está fazendo simplesmente o contrário e encontrando agora o espaço.

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Em outras palavras, vamos calcular o seguinte:

H = ∫ 0 60 v t d t ∴

Os limites de integração correspondem ao período de tempo que queremos analisar, em segundos.

H = ∫ 0 60 - g t - v e ln ⁡ m - r t m d t

Passo 3

Calculando:

H = ∫ 0 60 - g t - v e ln ⁡ m - r t m d t

H = - g 1 2 t 2 0 60 - v e ∫ 0 60 ln ⁡ m - r t d t - ∫ 0 60 ln ⁡ m d t

integrando o terceiro termo:

- ∫ 0 60 ln ⁡ m d t = - ln ⁡ m ( 60 )

H = - g 1800 + v e ln ⁡ m 60 - v e ∫ 0 60 ln ⁡ ( m - r t ) d t

Passo 4

Para facilitar nossa resolução dessa integral que restou, iremos fazer por partes, onde:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos adotar o seguinte:

u = ln ⁡ m - r t

d v = d t

d u = 1 m - r t - r d t

v = t

Assim, nossa integral vale

∫ 0 60 ln ⁡ m - r t d t = t ln ⁡ m - r t 0 60 + ∫ 0 60 r t m - r t d t

∫ 0 60 ln ⁡ m - r t d t = 60 ln ⁡ m - 60 r + ∫ 0 60 - 1 + m m - r t d t

∫ 0 60 ln ⁡ m - r t d t = 60 ln ⁡ m - 60 r + - t - m r ln ⁡ m - r t 0 60

∫ 0 60 ln ⁡ m - r t d t = 60 ln ⁡ m - 60 r - 60 - m r ln ⁡ m - 60 r + m r ln ⁡ m

Passo 5

Assim, substituindo na integral do Passo 3:

H = - 1800 g + 60 v e ln ⁡ m - 60 v e ln ⁡ m - 60 r + 60 v e + m r v e ln ⁡ m - 60 r - m r v e ln ⁡ m

Aplicando os dados da questão:

g = 9.8 , m = 30000 , r = 160 , e v e = 3000

Obtemos:

H ≈ 14844   m

Entendeu direitinho?? 😉

Resposta

H ≈ 14,844   m

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