Calcule a integral.

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... queremos resolver a seguinte integral:

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Para isso, fica complicado a gente aplicar diretamente uma das formas de resolução que aprendemos.

E agora?? Como fazemos então???

Bom... a gente pode fazer algumas manipulações na expressão, se liga:

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x sen ⁡ x d x

Sabemos que sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 , logo:

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 - cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x sen ⁡ x d x

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Vamos tentar fazer uma substituição agora..começando pela mudança de variável:

u = cos ⁡ x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u =   - sen ⁡ x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 - cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ - 1 - u 2 u 2 d u

= ∫ - u 2 + u 4 d u

= ∫ - u 2 d u + ∫ u 4 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Então ficamos com:

∫ - u 2 d u + ∫ u 4 d u

= - ∫ u 2 d u + ∫ u 4 d u

= - u 2 + 1 2 + 1 + u 4 + 1 4 + 1 + C

= - u 3 3 + u 5 5 + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ - u 2 d u + ∫ u 4 d u

= - u 3 3 + u 5 5 + C

= - cos 3 ⁡ x 3 + cos 5 ⁡ x 5 + C

Agora vamos voltar a expressão original:

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = - cos 3 ⁡ x 3 + cos 5 ⁡ x 5 + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

∫ sen 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = - cos 3 ⁡ x 3 + cos 5 ⁡ x 5 + C

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