Enunciado

Calcule a integral.

int sen^3 x cos^2 x d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... queremos resolver a seguinte integral:

int sen^3 x cos^2 x d x

Para isso, fica complicado a gente aplicar diretamente uma das formas de resolução que aprendemos.

E agora?? Como fazemos então???

Bom... a gente pode fazer algumas manipulações na expressão, se liga:

int sen^3 x cos^2 x d x = int sen^2 x cos^2 x sen x d x

Sabemos que sin^2 u + cos^2 u = 1 , logo:

int sen^3 x cos^2 x d x = int (1 - cos^2 x) cos^2 x sen x d x

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Vamos tentar fazer uma substituição agora..começando pela mudança de variável:

u = cos x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = - sen x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1 - cos^2 x) cos^2 x sen x d x = int - (1 - u^2) u^2 d u

= int - u^2 + u^4 d u

= int - u^2 d u + int u^4 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Então ficamos com:

int - u^2 d u + int u^4 d u

= - int u^2 d u + int u^4 d u

= - (u^(2 + 1))/(2 + 1) + (u^(4 + 1))/(4 + 1) + C

= - (u^3)/(3) + (u^5)/(5) + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int - u^2 d u + int u^4 d u

= - (u^3)/(3) + (u^5)/(5) + C

= - (cos^3 x)/(3) + (cos^5 x)/(5) + C

Agora vamos voltar a expressão original:

int sen^3 x cos^2 x d x = - (cos^3 x)/(3) + (cos^5 x)/(5) + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

int sen^3 x cos^2 x d x = - (cos^3 x)/(3) + (cos^5 x)/(5) + C

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