Enunciado

Foi pedido a um torneiro mecânico que fabricasse um disco de metal circular com área de 1000 cm².

  1. Qual o raio do disco produzido?
  2. Se for permitido ao torneiro uma tolerância do erro de ± 5 cm² na área do disco, quão próximo do raio ideal da parte (a) o torneiro precisa controlar o raio?
  3. Em termos da definição de ε , δ de lim x → a ⁡ f ( x ) = L , oque é x ? O que é f x ? O que é a ? O que é L ? Qual o valor de ε dado? Qual o valor correspondente de δ ?

Passo 1

Opa! Vamos fazer essa questão! O enunciado nos fala de um disco de metal circular com área de 1000 cm² a ser fabricado e pede pra a gente 3 coisinhas!

Na primeira temos que calcular o raio do disco produzido, para isso temos que lembrar que:

A = π r 2

Então:

1000 = π r 2

r = 1000 π = 17,8412

Passo 2

Na letra (b) ele fala que o disco vai ser fabricado com uma tolerância do erro de ± 5 cm² na área do disco e aí nos pergunta qual seria o erro do raio para essa tolerância.

Podemos escrever o erro da área da seguinte forma:

A - 1000 ≤ 5

Logo teremos:

- 5 ≤ A - 100 ≤ 5

Substituindo a fórmula da área:

- 5 ≤ π r 2 - 1000 ≤ 5

Assim:

995 ≤ π r 2 ≤ 1005

995 π ≤ r ≤ 1005 π

17,796 ≤ r ≤ 17,885

Temos então dois raios possíveis 17,796   e   17,885 , vamos substituir pra ver qual se encaixa

Lembra que o raio “ideal” é de r = 17,8412 , então podemos calcular os erros considerando as extremidades:

e r r o 1 = 17,8412 - 17,796 = 0,0452

e r r o 2 = 17,885 - 17,8412 = 0,0438

Como o nosso intervalo em torno de r não é simétrico, temos que pegar o menor valor de erro, pois ele é o único que vai se encaixar no intrevalo! Assim temos:

e r r o = 0,0438

Passo 3

A letra (c) pergunta quem é x ,   f ( x ) , a , L , ϵ e δ se considerarmos a definição 2 de limite. Mas antes de responder vamos lembrar o que ela diz!

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Vamos começar pela função f ( x ) , estávamos interessados em uma área que é função do raio cujo o valor deveria ser o mais próximo possível de 1000   c m 2 , então queríamos:

lim r → 17,8412 ⁡ π r 2 = 1000

Ou seja, temos:

f x = π r 2

x = r

L = A = 1000

Foi nos dada uma tolerância, tal que:

A - 1000 < 5

Dai tiramos:

ϵ = 5

δ é tolerância do raio, calculada no passo anterior:

δ = 0,0438

E a era o “raio ideal” calculado no passo 1:

a = 17,8412

Prontinho!

Resposta

(a) r = 17,8412

(b) Tão próximo quanto 0,0445 cm

(c)

f x = π r 2

x = r

L = A = 1000

ϵ = 5

δ = 0,0438

a = 17,8412

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